阿基米德絕對值

域論的一個重要分支，它是研究交換代數的一個工具，特別是在代數數論、分歧理論、類域論和代數幾何中有極為重要的應用。通常的賦值可分為加法與乘法賦值兩類，有時簡稱賦值。從賦值出發，可以給原來的域一個拓撲結構，使之成為拓撲域。賦值理論肇始於屈爾沙克於1913年發表的論文。賦值、賦值域這些名詞都是他首先引入的。氣候，經過奧斯特洛夫斯基（Ostrowski，A.M.）等人的工作，解決了屈爾沙克在論文中提出的問題，並發展了這一理論。1932年，克魯爾（Krull，W.）發表了題為《一般賦值理論》的基本論文，從而奠定了賦值論這一分支的基礎。時至今日，賦值理論已逐漸越出了“域”的界限，在許多代數結構上，例如羣、環、向量空間等，也用多種方式引進賦值，並由此對這些結構作算術理論的研究。此外，賦值論還滲入泛函分析的領域，發展了所謂非阿基米德泛函分析。 ^[1] 

一個域到實數域內的一種映射。它是通常絕對值的推廣。若φ是由域F到實數域R的映射，稱φ為F上的一個絕對值，若φ滿足條件：

1、φ(a)≥0，φ(a)=0，當且僅當a=0（F的零元）；

2、φ(ab)=φ(a)φ(b)；

3、φ(a+b)≤Cmax{φ(a),φ(b)}，其中a，b∈F，C為一常數，滿足0<C≤2；

注意由條件1,2,3可推出三角不等式，即

4、φ(a+b)≤φ(a)+φ(b)；

並且條件1,2,3與條件1,2,4是等價的。最常見的絕對值有：通常實數域的絕對值|·|，複數域上的模。 ^[1] 

阿基米德絕對值(Archimedean absolute value)是與非阿基米德絕對值相排斥的另一種絕對值。設φ為F上的絕對值，若φ滿足三角不等式

但不滿足

則稱φ為阿基米德絕對值。φ為阿基米德絕對值的充分必要條件是：存在m∈Z(整數加羣)，使φ(me)>1，其中e為F的單位元。把絕對值區分為阿基米德絕對值和非阿基米德絕對值，來自奧斯特洛夫斯基(Ostrowski , A. M.)於1915年的工作。 ^[1] 

非阿基米德絕對值(non-Archimedean absolute value)是一類特殊的絕對值。它是一種非常重要的類型。若φ為F上的絕對值，且C=1，即在上述絕對值定義之中條件3變為

則φ稱為非阿基米德絕對值。非淺顯的絕對值為非阿基米德絕對值的充分必要條件是：φ(me)≤1 對每個m∈Z （整數加羣），e為F的單位元。特徵為 p 的域上只能有非阿基米德絕對值。 ^[1]