閉域

舉例明之，實數域並非代數閉域，因為下列實係數多項式無實根：

同理可證有理數域非代數閉域。此外，有限域也不是代數閉域，因為若

列出

的所有元素，則下列多項式在

中沒有根：

反之，複數域則是代數閉域；這是代數基本定理的內容。另一個代數閉域之例子是代數數域。 ^[1] 

給定一個域

，其代數封閉性與下列每一個性質等價：

域F是代數閉域，當且僅當環

中的不可約多項式是而且只能是一次多項式。

“一次多項式是不可約的”的斷言對於任何域都是正確的。如果F是代數閉域，

是

的一個不可約多項式，那麼它有某個根a，因此

是

的一個倍數。由於p(x)是不可約的，這意味着對於某個，有

。另一方面，如果F不是代數閉域，那麼存在F[x]內的某個非常數多項式

在F內沒有根。設

為

的某個不可約因子。由於

在F內沒有根，因此

在F內也沒有根。所以，

的次數大於1，因為每一個一次多項式在F內都有一個根。

域F是代數閉域，當且僅當每一個係數位於次數F內的n≥1的多項式

都可以分解成線性因子。也就是説，存在域F的元素k，x₁，x₂，...，x_n，使得p(x)=k(x−x₁)(x−x₂)···(x−x_n)。

如果F具有這個性質，那麼顯然F[x]內的每一個非常數多項式在F內都有根；也就是説，F是代數閉域。另一方面，如果F是代數閉域，那麼根據前一個性質，以及對於任何域K，任何K[x]內的多項式都可以寫成不可約多項式的乘積，推出這個性質對F成立。 ^[1] 

域F是代數閉域，當且僅當每一個係數位於F內的一元有理函數都可以寫成一個多項式函數與若干個形為a/(x−b)ⁿ的有理函數之和，其中n是自然數，a和b是F的元素。

如果F是代數閉域，那麼由於F[x]內的不可約多項式都是一次的，根據部分分式分解的定理，以上的性質成立。

而另一方面，假設以上的性質對於域F成立。設p(x)為F[x]內的一個不可約元素。那麼有理函數1/p可以寫成多項式函數q與若干個形為a/(x−b)的有理函數之和。因此，有理表達式

可以寫成兩個多項式的商，其中分母是一次多項式的乘積。由於p(x)是不可約的，它一定能整除這個乘積，因此它也一定是一個一次多項式。 ^[1] 

設

為代數擴張，且

是代數閉域，則稱

是

的一個代數閉包。可以視之為包含

的最小的代數閉域。

若我們承認佐恩引理（或其任一等價陳述），則任何域都有代數閉包。設

為任兩個

的代數閉包，則存在環同構

使得

；代數閉包在此意義上是唯一的，通常記作

或

。 ^[2]