邊界元法

邊界元法是在有限元法之後發展起來的一種較精確有效的 ^[1]  方法 。 又稱邊界積分方程-邊界元法。它以定義在邊界上的邊界積分方程為控制方程，通過對邊界分元插值離散，化為代數方程組求解。它與基於偏微分方程的區域解法相比，由於降低了問題的維數，而顯著降低了自由度數，邊界的離散也比區域的離散方便得多，可用較簡單的單元準確地模擬邊界形狀，最終得到階數較低的線性代數方程組。又由於它利用微分算子的解析的基本解作為邊界積分方程的核函數 ，而具有解析與數值相結合的特點，通常具有較高的精度。特別是對於邊界變量變化梯度較大的問題 ，如應力集中問題 ，或邊界變量出現奇異性的裂紋問題，邊界元法被公認為比有限元法更加精確高效。由於邊界元法所利用的微分算子基本解能自動滿足無限遠處的條件，因而邊界元法特別便於處理無限域以及半無限域問題。邊界元法的主要缺點是它的應用範圍以存在相應微分算子的基本解為前提，對於非均勻介質等問題難以應用，故其適用範圍遠不如有限元法廣泛，而且通常由它建立的求解代數方程組的係數陣是非對稱滿陣，對解題規模產生較大限制。對一般的非線性問題，由於在方程中會出現域內積分項，從而部分抵消了邊界元法只要離散邊界的優點。

邊界元法是基於控制微分方程的基本解來建立相應的邊界積分方程，再結合邊界的剖分而得到的離散算式。

Jaswon和Symm於1963年用間接邊界元法求解了位勢問題；Rizzo[3]於1967年用直接邊界元法求解了二維線彈性問題；Cruse[4]於1969年將此法推廣到三維彈性力學問題。1978年，Brebbia用加權餘量法推導出了邊界積分方程，他指出加權餘量法是最普遍的數值方法，如果以Kelvin解作為加權函數，從加權餘量法中導出的將是邊界積分方程——邊界元法，從而初步形成了邊界元法的理論體系，標誌着邊界元法進入系統性研究時期。

經過近40年的研究和發展，邊界元法已經成為一種精確高效的工程數值分析方法。在數學方面，不僅在一定程度上克服了由於積分奇異性造成的困難，同時又對收斂性、誤差分析以及各種不同的邊界元法形式進行了統一的數學分析，為邊界元法的可行性和可靠性提供了理論基礎。在方法與應用方面，邊界元法已應用到工程和科學的很多領域，對線性問題，邊界元法的應用已經規範化；對非線性問題，其方法亦趨於成熟。在軟件應用方面，邊界元法應用軟件已由原來的解決單一問題的計算程序向具有前後處理功能、可以解決多種問題的邊界元法程序包發展。

我國約在1978年開始進行邊界元法的研究，我國的學者在求解各種問題的邊界元法的研究方面做了很多的工作，並且發展了相應的計算軟件，有些已經應用於工程實際問題，並收到了良好的效果。