超平面

在幾何體中，超平面是一維小於其環境空間的子空間。 如果空間是3維的，那麼它的超平面是二維平面，而如果空間是二維的，則其超平面是一維線。 該概念可以用於定義子空間維度概念的任何一般空間。 ^[1] 

在不同的設置中，超平面的對象可能具有不同的屬性。 例如，n維仿射空間的超平面是尺寸為n-1的平坦子集。由於其性質，它將空間分成兩個半空間。 n維投影空間的超平面不具有此屬性。

在幾何形狀中，n維空間V的超平面是尺寸為n-1的子空間，或等價於V中的代數1。空間V可以是歐幾里德空間，或更一般地是仿射空間，或向量空間或投影空間和超平面的概念因為這些設置中子空間的定義不同而相應變化。然而，在所有情況下，任何超平面可以在座標中作為單個的解（由於“1”約束）的等式1的代數方程給出。

如果V是向量空間，則區分“向量超平面”（它們是線性子空間，因此必須通過原點）和“仿射超平面”（不需要通過原點）；它們可以通過向量的平移來獲得超平面。歐幾里德空間中的超平面將該空間分成兩個半空間，並定義了一個映射，該映射固定了超平面，並將兩個半空間交換。

在數學中，超平面（Hyperplane）是n維歐氏空間中餘維度等於1的線性子空間。這是平面中的直線、空間中的平面之推廣。設F為域（可考慮

）。

n 維空間

中的超平面是由方程：

定義的子集，其中

是不全為零的常數。

在線性代數的脈絡下，F-矢量空間V 中的超平面是指形如：

的子空間，其中

是任一非零的線性映射。

在射影幾何中，同樣可定義射影空間

中的超平面。在齊次座標

下，超平面可由以下方程定義：

其中

是不全為零的常數。

超平面H是從n維空間到n-1維空間的一個映射子空間，它有一個n維向量和一個實數定義。設d是n維歐式空間R中的一個非零向量，a是實數，則R中滿足條件dX=a的點X所組成的集合稱為R中的一張超平面。

我們定義了幾種特定類型的超平面。

仿射超平面是仿射空間中的代數1的仿射子空間。 在笛卡爾座標中，可以用以下形式的單一線性方程來描述這樣的超平面（至少有一個a_i不是0）：

在真實仿射空間的情況下，換句話説，當座標為實數時，該仿射空間將空間分成兩個半空間，它們是超平面的補碼的連接分量，由不等式給出：

和

作為一個例子，一點是一維空間中的超平面，一條線是二維空間中的超平面，一個平面是三維空間中的超平面。 三維空間中的一行不是超平面，並且不將空間分成兩部分（這樣一條線的補碼連接起來）。

歐幾里德空間的任何超平面具有兩個單位法向量。

仿射超平面用於定義許多機器學習算法中的決策邊界，例如線性組合（傾斜）決策樹和感知器。

在矢量空間中，矢量超平面是代數1的子空間，只能通過向量從原點移位，在這種情況下，它被稱為平面。 這樣的超平面是單一線性方程的解。

投影超平面，用於投影幾何。 投影子空間是一組具有屬性的點，對於集合中的任何兩個點，由兩點確定的線上的所有點都包含在集合中。投影幾何可以被看作是添加了消失點（無窮遠點）的仿射幾何。 仿射超平面與無限相關點形成投影超平面。投影超平面的一個特殊情況是無限或理想的超平面，其定義為無限遠的所有點的集合。

在投影空間中，超平面不會將空間分為兩部分： 相反，它需要兩個超平面來分離點並分割空間。其原因是空間基本上“包圍”，使得單個超平面的兩側彼此連接。 ^[2] 

歐幾里德空間的兩個非平行超平面之間的二面角是相應法向量之間的角度。 兩個超平面中的變換的乘積是一個旋轉，其軸是通過與超平面相交獲得的代碼2的子空間，其角度是超平面之間的角度的兩倍。