複製鏈接
請複製以下鏈接發送給好友
https://baike.baidu.hk/item/貝爾數/9227873
複製
複製成功

貝爾數

鎖定
在組合數學裏，貝爾數給出了集合劃分的數目，以數學家埃裏克·坦普爾·貝爾（Eric Temple Bell）命名，是組合數學中的一組整數數列。
以B0= B1=1為始， 首幾項的貝爾數為：1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, …（OEIS的A000110數列）
中文名
貝爾數
外文名
Bell number
提出者
埃裏克·坦普爾·貝爾
適用領域
數學
應用學科
組合數學

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 公式
  3. 3 貝爾三角形
  4. 4 程序

貝爾數定義

Bn是基數為n的集合劃分數目。集合S的一個劃分是定義為S的兩兩不相交的非空子集的族，它們的並是S。例如B3 = 5因為3個元素的集合{a, b, c}有5種不同的劃分方法：
  • {{a}, {b}, {c}}
  • {{a}, {b, c}}
  • {{b}, {a, c}}
  • {{c}, {a, b}}
  • {{a, b, c}}
B0是1因為空集
正好有1種劃分方法。劃分的定義要求空集的劃分中的每個成員都是非空集合，而它們的並是
本身。所以
是它自身的唯一劃分。（這是定義所允許的因為
）

貝爾數公式

貝爾數適合遞推公式：
它們也適合“Dobinski公式”：
期望值為1的泊松分佈的''n''次矩。
它們也適合“Touchard同餘”：若p是任意質數，那麼
每個貝爾數都是"第二類Stirling數"的和
Stirling數S（n, k）是把基數為n的集劃分為正好k個非空集的方法的數目。
把任一概率分佈的n次矩以首n個累積量表示的多項式，其係數和正是第n個貝爾數。這種數劃分的方法不像用Stirling數那個方法粗糙。
貝爾數的指數母函數是

貝爾數貝爾三角形

用以下方法建構一個三角矩陣（形式類似楊輝三角形）：
(1) 第一行第一項是1（a_{1,1} = 1）
(2) 對於n>1，第n行第一項等同第n-1行最後一項。（
）
(3) 對於m,n>1，第n行第m項等於它左邊和左上方的兩個數之和。（
）
結果如下：（OEIS的A011971數列 [1]  ）
每行首項是貝爾數。
這個三角形稱為貝爾三角形、Aitken陣列或Peirce三角形（Bell triangle, Aitken's array, Peirce triangle）。

貝爾數程序

計算貝爾數的程序如下：（VC++環境下調試通過）
#include
#include
using namespace std;
unsigned __int64 c(int n,int m){
if(m>n/2)
m=n-m;
int i;
unsigned __int64 a=1,b=1;
for(i=n;i>n-m;i--)
a*=i;
for(i=2;i<=m;i++)
b*=i;
return a/b;
}
unsigned __int64 bell(int n){
unsigned __int64 t=0;
int i;
if(n==0)
return 1;
else{
for(i=0;i<=n-1;i++)
t+=c(n-1,i)*bell(i);
}
return t;
}
int main(){
int n;
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
printf("%I64u\n",bell(n));
return 0;
}
參考資料