自旋-軌道作用

在量子力學裏，一個粒子因為自旋與軌道運動而產生的作用，稱為自旋-軌道作用（英語：Spin–orbit interaction），也稱作自旋-軌道效應或自旋-軌道耦合。最著名的例子是電子能級的位移。電子移動經過原子核的電場時，會產生電磁作用．電子的自旋與這電磁作用的耦合，形成了自旋-軌道作用。譜線分裂實驗明顯地偵測到電子能級的位移，證實了自旋-軌道作用理論的正確性。另外一個類似的例子是原子核殼層模型能級的位移。 ^[1] 

半導體或其它新穎材料常常會涉及電子的自旋-軌道效應。自旋電子學專門研究與應用這方面的問題。

接下來，以相當簡單與公式化的方式，詳細地講解一個束縛於原子內的電子的自旋-軌道作用理論。這會用到電磁學、非相對論性量子力學、一階攝動理論。這自旋-軌道作用理論給出的答案，雖然與實驗結果並不完全相同，但相當的符合。更嚴謹的導引應該從狄拉克方程開始，也會求得相同的答案。若想得到更準確的答案，則必須用量子電動力學來計算微小的修正。這兩種方法都在本條目範圍之外。

雖然在原子核的靜止參考系(rest frame) ，並沒有磁場；在電子的靜止參考系，有磁場存在。暫時假設電子的靜止參考系為慣性參考系，則根據狹義相對論，磁場B 是 ^[2] 

；(1) 其中，v是電子的速度，E是電子運動經過的電場，c是光速。

以質子的位置為原點，則從質子產生的電場是

；其中，Z是質子數量（原子序數），e是單位電荷量，

是真空電容率，

是徑向單位矢量，r是徑向距離，徑向矢量

是電子的位置。

電子的動量p是p=mv，其中，m 是電子的質量。所以，作用於電子的磁場是

； (2)

其中，L是角動量，

，B是一個正值因子乘以L，也就是説，磁場與電子的軌道角動量平行。

電子的磁矩

是

，其中，

是迴轉磁比率(gyromagnetic ratio) ，S 是自旋，

是電子自旋g因數，

是電荷量。電子的g-因數（g-factor）是2，電荷量是-e 。所以，

。 (3)

電子的磁矩與自旋反平行。

自旋-軌道作用的哈密頓量攝動項目是

。代入

的公式 (3) 和B的公式(2)，經過一番運算，可以得到

，一直都還沒有考慮到電子靜止座標乃非慣性座標。這事實引發的效應稱為托馬斯進動(Thomas precession) 。因為這效應，必須添加因子1/2 在公式裏。所以，

。

在準備好了自旋-軌道作用的哈密頓量攝動項目以後，可以估算這項目會造成的能量位移。特別地，想要找到

的本徵函數形成的基底，使 H'能夠對角化。為了找到這基底，先定義總角動量算符

：

，

總角動量算符與自己的內積是

。

所以，

。

請注意 H'與L互相不對易，H' 與S 互相不對易。可以很容易地證明這兩個事實。由於這兩個事實，

與L的共同本徵函數不能被當做零攝動波函數，用來計算一階能量位移

。

與S的共同本徵函數也不能被當做零攝動波函數，用來計算一階能量位移

。可是，

，這四個算符都互相對易。

，這四個算符也都互相對易。所以，

，這四個算符的共同本徵函數

可以被當做零攝動波函數，用來計算一階能量位移

；其中， n 是主量子數，j是總角量子數，l是角量子數，s是自旋量子數。這一組本徵函數所形成的基底，就是想要尋找的基底。這共同本徵函數

的

的期望值是

其中，電子的自旋s=1/2 。

經過一番繁瑣的運算，可以得到

的期望值

；其中，

是玻爾半徑。

將這兩個期望值的公式代入，能級位移是

。

經過一番運算，可以得到

其中，

是主量子數為n的零攝動能級。

特別注意，當l=0時，這方程會遇到除以零的不可定義運算；雖然分子項目 j(j+1)-l(l+1)-3/4=0也等於零。零除以零，仍舊無法計算這方程的值。很幸運地，在精細結構能量攝動的計算裏，這不可定義問題自動地會消失。事實上，當 l=0時，電子的軌道運動是球對稱的。這可以從電子的波函數的角部分觀察出來， l=0球諧函數是

，

由於完全跟角度無關，角動量也是零，電子並不會感覺到任何磁場，所以，電子的l=0軌道沒有自旋-軌道作用。