總體迴歸函數

在給定解釋變量

條件下被解釋變量

的期望軌跡稱為總體迴歸線（population regression line），或更一般地稱為總體迴歸曲線（population regression curve）。相應的函數 ^[1] 

E(Y/

)=f(

)

稱為(雙變量)總體迴歸函數(population regression function，PRF)。將居民消費支出看成是其可支配收入的線性函數時，式子E(Y/

)=f(

)可進一步寫成

E(Y∣

)=

+

其中，

、

是未知參數．稱為迴歸係數(regression coefficients)。上式也稱為線性總體迴歸函數。

所採取的函數形式，是由所考察總體固有的特徵來決定的。由於實踐中總體往往無法全部考察到，因此總體迴歸函數形式的選擇就是一個經驗方面的問題，這時經濟學等相關學科的理論就顯得很重要。例如，生產函數常以Cobb-Douglas冪函數的形式出現，U形邊際成本函數以二次多項式的形式出現等。將居民消費支出看成是其可支配收入的線性函數時，式子E(Y/

)=f(

)可進一步寫成

E(Y∣

)=

+

其中，

、

是未知參數．稱為迴歸係數(regression coefficients)。上式也稱為線性總體迴歸函數

線性函數形式最為簡單，其中參數的估計與檢驗也相對容易，而且多數非線性函數可轉換為線性形式，因此，為了研究的方便．計量經濟學中總體迴歸函數常設定成線性形式。需注意的是，經典計量經濟方法中所涉及的線性函數，指回歸係數是線性的，即迴歸係數只以它的一次方出現，對解釋變量則可以不是線性的 ^[1]  。

(1)在總體同歸函數中．當f(x)為線性函數時．稱為線性迴歸(Linear regression)；

(2)當f(x)為非線性函數時,稱為非線性迴歸(Nonlinear regression)；

(3)當f(x)中的自變量只有一個時,稱為一元迴歸；

(4)當f(x)中的自變量多於一個時,稱為多元迴歸． ^[2] 

舉例：

若

則有條件分佈

Y∣X=x~N(

+

,

).

從而有總體迴歸函數

E(Y∣X=x)=

+

.

如關係示意圖圖所示，線性函數形式最為簡單．其中參數的估計與檢驗也相對容易．而且很多非線性函數可轉換為線性形式，因此．為了研究方便，總體迴歸函數常設定成線性形式． ^[2]