線性算子逼近

線性算子逼近是函數逼近論的一個重要組成部分。

設[c,d]⊂[a,b], L是C[a,b]到C[c,d]的線性算子，f∈C[a,b]，記L(f)在點x∈[c,d]處的值為L(f,x)，在[c,d]上用L(f,x)對f(x)的逼近稱為線性算子逼近。

線性算子逼近一直是函數逼近論的一個重要分支。其原因大致是線性關係簡明，線性算子比較容易構造，而最佳逼近多項式與被逼近函數之間一般又不具有線性關係。

熟知函數的泰勒級數的部分和、傅里葉級數的部分和及其種種平均、種種插值多項式等都是線性算子的例子。

一般地，假設X是一個函數空間（例如C,L^p等），{L_n}是X到其自身的一個線性算子序列，在考慮用L_n(f)逼近f∈X時，首先研究的是n→∞時，L_n(f)是否按某種意義收斂於f，其次是研究函數的構造性與逼近度||f-L_n(f)||_X之間的關係，這通常是通過收斂性定理、逼近的正定理與逆定理來實現的。

但是，對於某些線性算子來説，其逼近度是有限制的，即不會因函數性質好而增加其逼近程度。因此，研究具體算子的逼近功能也是一個重要的問題。 ^[1]