線性矩陣不等式

具有下列形式的矩陣不等式稱為線性矩陣不等式(Linear Matrix Inequality, LMI)或嚴格線性矩陣不等式 ^[1] 

其中，

是個實數變量，稱為線性矩陣不等式(1)的決策變量；

是決策變量構成的決策向量。

，

是給定的實對稱矩陣。

表示矩陣

是負定的，即對於任意的非零向量

有

，或者

的最大特徵值小於零。而若下列矩陣不等式的成立

則稱為非嚴格線性矩陣不等式。

線性矩陣不等式的發展可以分為三個階段 ^[2]  ：

最早的動態系統分析的LMI 方法可以追溯到100 多年以前。1890 年Lyapunov 在他出版的被稱為Lyapunov 理論的著作中，提出了微分方程

的穩定條件：當且僅當存在對稱正定矩陣

，使得

。它是LMI的一種特殊形式稱為Lyapunov不等式。

LMI 發展的第二個里程碑是在二十世紀40 年代.當時，前蘇聯科學家Lur’e，Postnikov 及其他學者將Lyapunov 方法應用於控制工程中的一些經典問題，尤其是當執行機構具有非線性時滯時的穩定性，雖然他們沒有形成精確的矩陣不等式，但是所提出的穩定性準則具有LMI 的雛形。“Lyapunov 理論可以應用於控制工程中的重要問題” 這一新想法使Lur’e，Postnikov 等人受到啓發，將Lyapunov 理論應用於解決實際控制工程問題，解決LMI 問題的思想可以歸結於利用手工分析式的求解，當然其應用僅限於小系統。

LMI 發展的第三個里程碑是在二十世紀60 年代.Popov，Yakuovichl 及其它學者利用正實 (Positive Real-PR) 引理簡化Lur’e 問題，應用圖形原則進行求解，產生了Popov 判據.這種判據可以應用於高階系統，但不適合用於非線性系統。從LMI 的控制理論的發展觀點看，Yakuovichl，Popov 等人的貢獻在於給出了利用圖形方法解決LMI 問題。

70 年代，一些學者認識到LMI 問題不僅可以通過圖形方法獲得求解，而且可以通過求解代數Riccati 方程 (Algebraic Riccati Equation-ARE) 獲得求解。1971 年一些學者得到求解經典LMI 的方法，如圖形法以及Lyapunov 函數法.這些分析方法可以用於特殊形式的LMI 問題。

在LMI 歷史中最具實質性的階段是80 年代，這期間提出了多種LMI 標準問題的數值解法，主要的LMI 求解算法有替代凸投影算法，橢球算法及內點法。內點法又分為中心點法，投影法，原始-對偶法，這些方法的共同思路都是把LMI 問題看成凸優化問題處理。

1995 年MATLAB 推出了基於內點法的求解LMI 問題的LMI 工具箱，使得求解高維的LMI 成為可能.這種統一標準，統一解法的線性分析方法，設計規範的形式以及有效的數學計算工具包逐步研製成功，使得人們能夠更加方便和有效地處理，求解線性矩陣不等式，從而進一步推動了LMI 在系統和控制領域中的應用。

系統與控制中的許多問題初看想來不是一個線性矩陣不等式問題，但通過適當的處理可以轉換成一個線性矩陣不等式問題。下面給出一些典現例子。

1、多個線性矩陣不等式

表 示 一 個 線 性 矩 陣 不 等 式 系 統 。 引 進

，則

同時成立當且僅當

。所以，一個線性矩陣不等式可以用來描述整個線性矩陣不等式系統。

2、矩陣 Schur 補性質可將非線性矩陣不等式轉換成線性矩陣不等式問題。

對於矩陣

，把

分塊得：

其中

是

維的。設

非奇異，那麼

叫做

在

內的Schur補。介紹矩陣的Schur 補性質。

Schur補引理：對給定的對稱矩陣

，其中

是

維的。以下三個條件是等價的：

(i)

；

(ii)

(iii)

3、S-procedure可以把非凸約束問題變換為LMI 約束問題。

對

，假定

為

上的實值泛函，針對下述條件：

：對使得

,

的所有

，有

；

：存在標量

,

，使得對任意的

，

易知通過條件

可以導出條件

。S-procedure在檢驗條件

的準確性後，再推測條件

是否成立。相比較，條件

比

容易判斷，所以，利用S-procedure能夠方便判斷條件

是否可行。

1、可行性問題（LMIP）：已知

，是否能找到

，滿足

。若有，那麼此線性矩陣不等式可行；若沒有，那麼不可行。其中，MATLAB LMI工具箱提供的相應的求解器為feasp。

2、特徵值問題（EVP）：以某線性矩陣不等式約束為基礎，解最小化

的最大特徵值問題，或者推出該約束為不可行的。它的一般形式是:

其可變換為下述問題，二者等價：

上式為特徵值問題求解器能解決的規範表示。其中，MATLAB LMI工具箱提供的相應的求解器為mincx。

3、 廣義特徵值問題（GEVP）：已知某線性矩陣不等式約束，解如何最小化二仿射矩陣函數的最大廣義特徵值。

已知維數相同對稱矩陣

、

，

為一個標量，若存在一個非零向量y ，滿足

，那麼標量

叫作對稱矩陣

與

的廣義特徵值，求解

問題變換為針對線性矩陣不等式約束的優化分析：

其中，MATLAB LMI工具箱提供的相應的求解器為gevp。

在Matlab當中，我們可以採用圖形界面的lmiedit命令，來調用GUI接口，同樣可以採用程序的方式。

對於LMI Lab，其中有三種求解器（solver）：feasp，mincx和gevp。

每個求解器針對不同的問題：

feasp：解決可行性問題（feasibility problem），例如：A(x)<B(x)。

mincx：在線性矩陣不等式的限制下解決最小化問題（Minimization of a linear objective under LMI constraints），例如最小化c'x，在限制條件A(x) < B(x)下。

gevp：解決廣義特徵值最小化問題。例如：最小化lambda，在0<B(x),A(x)<lamba*B(x)限制條件下。

要解決一個LMI問題，首要的就是要把線性矩陣不等式表示出來。

對於以下類型的任意的LMI問題

N' * L(X1, . . . , XK) * N < M' * R(X1, . . . , XK) * M

其中X1, . . . , XK是結構已經事先確定的矩陣變量。左側和右側的外部因子（outer factors）N和M是給定的具有相同維數的矩陣。

左側和右側的內部因子（inner factors）L(.)和R(.)是具有相同結構的對稱塊矩陣。每一個塊由X1, . . . , XK以及它們的轉置組合而成形成的。

有一些有效率的數值方法可以判斷線性矩陣不等式是否可行（是否存在向量y使得LMI(y)≥0），或解出有LMI限制條件的凸優化問題。 許多控制理論、系統識別及信號處理的最佳化問題都可以表示為線性矩陣不等式。線性矩陣不等式也可以應用在Polynomial SOS中。原型的原始半定規劃及對偶半定規劃都是實線性函數的最小化，分別屬於控制此LMI的原始凸錐及對偶凸錐 ^[3]  。