緊開拓撲

設Top(X,Y)為拓撲空間範疇的態射集。給定X的緊集K和Y的開集U，令N(K,U)表示Top(X,Y)中所有滿足f(K)⊂U的函數f的集合。則N(K,U)是Top(X,Y)上緊開拓撲的子基。（此集合並不總是形成Top(X,Y)上拓撲的基）給定了緊開拓撲的Top(X,Y)記為Cop(X,Y) ^[5] 

當在緊生成空間的範疇中工作時，通常將該定義修改為由作為緊豪斯多夫空間的映射K形成的基來進行修改。 當然，如果X緊生成且豪斯多夫，這個定義與前一個一致。 然而，如果要將緊生成的弱豪斯多夫空間的方便類別笛卡爾閉合，其他有用的屬性，修改後的定義是至關重要的。這個定義與上述之間的混淆是由單詞compact的不同用法引起的。 ^[2] 

如果*是一個點空間，則可以使用X來識別C（*，X），並且在該標識下，緊開拓撲與X上的拓撲一致。

如果Y是T0，T1，豪斯多夫，正則或Tychonoff，則緊開拓撲具有相應的分離公理。

如果X是豪斯多夫，S是Y的子基，則集合{V（K，U）：U∈S}是C（X，Y）上的緊開拓撲的子基。

如果Y是度量空間（或更一般地，均勻空間），則緊開拓撲等於緊收斂的拓撲。換句話説，如果Y是度量空間，則當且僅當對於X的每個緊子集K {fn}均勻地收斂於f時，序列{fn}收斂於緊開拓撲中的f。特別地，如果X是緊的並且Y是一個均勻的空間，那麼緊開拓撲結構等於均勻收斂的拓撲。

如果X，Y和Z是拓撲空間，Y本地緊型豪斯多夫（或者甚至局部緊的規則），則給出組合圖C（Y，Z）×C（X，Y）→C（X，Z）通過（f，g）↦f o g，是連續的（這裏所有的函數空間都是緊開拓撲，C（Y，Z）×C（X，Y）被賦予乘積拓撲）。

如果Y是局部緊的豪斯多夫（或不規則）空間，則由e（f，x）= f（x）定義的評估圖e：C（Y，Z）×Y→Z是連續的。這可以看作是上述的特殊情況，其中X是一點空間。

如果X是緊的，並且Y是具有度量d的度量空間，則C（X，Y）上的緊開拓撲是可辨別的，並且其的度量由e（f，g）= sup {d f（x），g（x））：x中的x}，對於f，g∈C（X，Y）。 ^[3] 

由於單點集為緊集，所以F上的緊開拓撲細於F上的點式收斂拓撲。若值域空間Y是豪斯多夫空間，則F上賦予緊開拓撲也是豪斯多夫空間。若Y是正則空間且F中每一元都是連續的，則F上賦予緊開拓撲也是正則空間。

定義1 a)設F是

到

的函數族，令

：

，對

，使連續的F的不分明拓撲l稱為聯合連續的；b)F的不分明拓撲la，稱為在的子空間才上聯合連續，如果映射

是連續的。

定理1 a)設F是

到

的函數族，則F上的在

的每個良緊子空間上聯合連續的拓撲l細於F的點式收斂拓撲；b)當是Tj的,則l細於F的緊開拓撲；c)如果是正則，T₂的且F的每個成員在的每個良緊子空間上連續，則F的緊開拓撲在的每個良緊子空間上聯合連續。 ^[4]