結構常數

定理1 設g是有限維李代數，則存在惟一一個單連通李羣G*，以g為其李代數。此外，如果G是另一個以g為其李代數的連通李羣，則

是G的單連通李覆蓋羣(即

是羣同態，而G*和G是局部同構李羣)。 ^[1] 

若g是一個有限維李代數，則根據定理1，g是某個李羣G的李代數。如果設想

是g的一組基，那麼就存在一組常數

使得

由於李括號還滿足反對稱性和Jacobi恆等式，因此不難驗證

還必須滿足下面的限制條件：

(1)反對稱性：

(2)Jacobi恆等式：

由於

構成一組基，如果我們知道

，利用式(1)和李括號的雙線性即可重新構造出李代數g來。因此稱滿足條件即式(2)和式(3)的常數組

為李代數g的結構常數。反之，不難證明，任意一組滿足式(2)和式(3)的常數

都是某個李代數的結構常數。

如果選取g的另一組基

為

式中，矩陣

可逆，則相對於

的結構常數為

式中，

是

的逆矩陣。

因此，兩組結構常數確定同一個李代數的充分必要條件是：存在矩陣

，使它們滿足式(5)。於是由定理1可見，在連通李羣的李代數和滿足式(2)和式(3)的結構常數的等價類之間存在一一對應。所以，可以通過研究代數方程式(2)和式(3)來研究有限維李代數的性質，當然這並不能代替整個李羣理論。 ^[1] 

展示一個李代數的結構，最方便的方法是用交換子表。如果g是一個r 維李代數，

是它們的一組基，那麼g的交換子表就是一個

表格，第(i，j)個元素就表示李括號

。由於李括號是反對稱的，交換子表也是反對稱的，特別是對角線上的元素為0。有了交換子表，結構常數就可以很方便地從交換子表中讀出，即

就是交換子表中第(i，j)個元素裏

的係數。

以特殊線性羣

的李代數

為例説明交換子表的表示法。此時g由跡為零的2×2矩陣全體組成，取一組基為

那麼相應的交換子表見表1。

例如，從表中可知

等。結構常數是

，其他

全為零。 ^[1] 

下面簡要地介紹無窮小羣作用。

設G是作用在流形M上的局部變換羣，即

那麼相應地，存在G的李代數g在M上的無窮小作用。換言之，如果V∈g，則定義

是M上的這樣一個向量場，其確定的流與G的單參數子羣exp(tV)在M上的作用重合，即對x∈M，

滿足關係：

式中，

。進一步注意到，由於在有定義的地方，有如下等式成立：

從而對任意g∈G，有

由李括號的性質可知，

是g到M上的向量場的李代數的一個李代數同態，即

所以，一切與V∈g對應的向量場

組成的集合形成M上的向量場的一個李代數，它與g同構；特別是具有與g相同的結構常數。

反之給定M上一個有限維向量場李代數，總存在一個局部變換羣，其無窮小作用由已知李代數生成。因此有下面的定理。

定理2 設

是流形M上的滿足如下關係的向量場：

式中，

是常數。那麼存在一個李羣G，其李代數以

為相對於某組基

的結構常數，並且G在M上的局部羣作用使得曲

由式(6)定義。

通常，忽略對映射

的明顯依賴，而把李代數g和它的像

視為等同。這樣，通過下面的公式從羣變換可以重新得到g，即

g中的向量場V叫做G的羣作用的一個無窮小生成元。定理2

表明，只要已知形成一個李代數的基的無窮小生成元，那麼總能通過取指數求得一個局部變換羣，其李代數與已知李代數相同。 ^[1]