組中值

組距式變量數列簡稱組距數列，是指在變量數列中的每一個組，並不是由一個變量值來表示，而是由表明一定變動範圍或表示一定距離的兩個變量值所形成的數列。組距式變量數列又可分為：等距式數列與不等距式數列；開口式數列與封閉式數列等。組距數列中，每個組都有兩個端點，這兩個端點稱為組限。數值小的端點稱為組的下限，數值大的端點稱為組的上限。若一組內有上限缺下限，或有下限缺上限稱為開口組;若一組內的上限、下限都齊全稱為閉口組。組距數列掩蓋了組內各單位的實際變量值，通常用組中值近似地代替每組變量值的一般水平 ^[1]  。

組中值並不是各組標誌值的平均數，各組標誌數的平均數在統計分組後很難計算出來，就常以組中值近似代替。組中值僅存在於組距數列式分組數列中，單項式分組中不存在組中值。

組距數列是按變量的一段區間來分組的，分佈在各組的實際變量值已被變量值變動的範圍所取代，因此，在統計分析時，往往用組中值來反映各組實際變量值的一般水平，即用各組變量值平均水平的數值來代表。

其假定條件是：只有當變量值在各組內成均勻分佈或在組距中點值兩側呈對稱分佈時，組中值代表組內變量值的一般水平才具有較高代表性。

在進行組距式分組時，組距兩端的數值稱為組限。其中，每組的起點值稱為下限。連續型變量中，上一組的上限同時也是下一組的下限。在分組時，凡遇到單位的標誌值剛好等於相鄰兩組上下限數值時，一般把此值歸併到作為下限的那一組 ^[2]  。

注意：用組中值來代表各組的一般水平時，變量值在該組應呈均勻分佈，或在組中值兩側呈對稱分佈，否則，用組中值作為一組的代表值會有一定的誤差。

組中值是上下限之間的中點數值，以代表各組標誌值的一般水平。一般情況下，組中值=（上限+下限）÷2。

對於第一組是 “多少以下”，最後一組 “多少以上”的開口組，組中值的計算可參照鄰組的組距來決定。即：缺下限開口組組中值=上限—1/2鄰組組距，缺上限開口組組中值=下限+1/2鄰組組距。

例如，可以根據人口成長的生理和心理特點將人羣分為嬰幼兒組（0-6歲）、少年組(7-17歲)、中青年組（18-59）歲、老年組（60歲以上）等。組距分組掩蓋了各組內間的數據分佈狀況，為反映各組數據的一般水平，我們通常用組中值來作為該組數據的一個代表值（class midpoint）。上限與下限之間的中點數值稱為組中值，它是各組上下限數值的簡單平均，即組中值=（下限+上限）/2 ^[2]  。

使用組中值代表一組數據時有一個必要的假定條件，即各組數據在本組內呈現均勻分佈或在組中值兩側呈對稱分佈。如果實際數據的分佈不符合這一假定，用組中值作為一組數據的代表就會有一定的誤差。

在計算加權算術平均數時，當頻數直方圖或頻數分佈表的數據不是一個具體的值而是一個範圍的時候，求加權平均數時，統計中常用各組的組中值代表各組的實際數據，把各組頻數看作相應組中值的權 ^[1]  。

加權算數平均數=（各組的組中值╳頻數的和）/頻數之和

示例：為了綠化環境，柳蔭街引進一批法國梧桐，三年後這些樹的樹幹的周長情況如圖1所示，計算（可以使用計算器）這批法國梧桐樹幹的平均周長（精確到0.1cm）。

解：

答：這批梧桐樹幹的平均周長是63.8cm。 ^[3]