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終值定理
鎖定
就課程來講，終值定理是“信號與系統”課程中的知識，對應的有初值定理。就其地位而言，在“信號與系統”中，連續系統的S域分析佔有重要的地位，在微分方程求解、電路分析等領域發揮着關鍵作用。而S域分析的要點在於掌握拉普拉斯變換及其性質。拉普拉斯變換的重要性質包括：尺度變換、時移、頻移、微分、積分、卷積、初值定理與終值定理，與其他性質相比，初值定理與終值定理是重點和難點
[1]
。Z域分析的終值定理方法類似。
從物理意義上來説，初值定理與終值定理是連續信號的時域與複頻域之間的橋樑，反應了兩者之間相互轉換的規律
[1]
。
- 中文名
- 終值定理
- 外文名
- final value theorem
- 應用學科
- 信號與系統
- 類 型
- 連續系統和離散系統兩種情況
- 基礎知識
- 系統函數和極零點分析相關知識
- 應 用
- 計算自控原理中的穩態誤差
終值定理連續系統
終值定理定理內容
連續系統的拉普拉斯變換對應的終值定理如下所示：
設有連續函數f(t)，當t趨於無窮時，f(t)的極限存在，且有：
則終值定理可表達為：
該定理説明了，當滿足一定使用條件時，可由S域的象函數直接得到時域連續函數的終值。
注意：終值定理是取
的極限，因而s=0的點應在sF(s)的收斂域內，否則不能應用終值定理。
終值定理證明
由微分定理，有
令
，對等式兩邊取極限，得
等式左邊為
於是有
終值定理典例
如函數f(t)的象函數
，
。
求原函數f(t)的初值和終值。
解：（1）由初值定理，得：
；
由F(s)的原函數
，顯然以上結果對a>0或a<0都是正確的。
（2）由終值定理，得：
，
① 若a>0，則有
；
② 若a=0，則有
；
③若a<0，則有
；
對於a≥0，
的收斂域分別為
，和
，顯然 s=0在收斂域內，因而結果 ①②正確；對於a<0，sF(s)的收斂域為Re[s]>-a=|a|，s=0不在收斂域內， 因而結果③不正確，由F(s)的原函數容易驗證以上的結果。
[3]
終值定理離散系統
終值定理定理內容
終值定理適用於右邊序列，用於由象函數直接求得序列的終值，而不必求得原序列。
如果序列在k<M時f(k)=0，設：
，
，且
，
則序列的終值 ：
或寫為：
終值定理典例
某因果序列的z變換為（設a為實數）：
，
求
。
解：
（1）利用初值定理可得
上述象函數的原序列為
，可見以上結果對任意實數a均正確。
（2）利用終值定理可得
① 當|a|<1時
z=1在F(z)的收斂域內，終值定理成立，因而有：
不難驗證，原序列
，故|a|<1時以上結果正確。
② 當|a|=1時
若a=1，則有
，此時原序列
，結果正確。
若a=-1，則有
，此時原序列
，這時
不收 斂，因而終值定理不成立。
終值定理難點和建議
難點：現有的多數教材與參考書均直接給出了定理的使用條件和證明過程的敍述方式，並未解釋為何使用定理時需要條件的限定，而且在證明過程中，往往回避了連續信號中含有衝激函數項的情況。這樣的處理方式割裂了定理使用條件和定理內容之間的聯繫，使讀者在學習過程中感到十分困惑。
終值定理注意事項
- 需理解系統函數和極零點分析相關知識。
終值定理其它應用
使用時應注意：必須明確終值定理的應用條件，f(t)的拉氏變換F(s)在s右半平面及虛軸上解析，即沒有極點，計算時首先應該判斷系統的穩定性。
- 參考資料
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- 1. S域初值定理與終值定理教學方法探討 ．中國知網．2012-10[引用日期2016-11-20]
- 2. 胡壽松．自動控制原理（第五版）．北京：科學出版社，2007：636-637
- 3. 吳大正主編．信號與線性系統分析．北京：高等教育出版社 ，1998：224-225
- 4. 吳大正主編．信號與線性系統分析 ．北京：高等教育出版社，1998：289-290
- 5. 淺談用終值定理計算自控原理中的穩態誤差 ．中國知網．2013[引用日期2016-11-20]
