素域

擴域(或擴張)：如果域F是域E的一個子域，則稱域E為子域F的一個擴域(或擴張)，並用符號

，表示E是F的擴域(或擴張)。

例1 複數域是實數域的擴域，而複數域和實數域又都是有理數域的擴域。

我們知道，任何數域都包含有理數域，即有理數域是最小的數域，它不再含有任何真子域。

素域(或最小域)：如果一個域F不含真子域，則稱F是素域(或最小域)。

例2 有理數域是素域，剩餘類環

是素域。 ^[2] 

任何域E都含素域。 ^[2] 

證明 設e是域E的單位元，且令

，顯然Z’是域E的子環，作映射

，則

是整數環Z到Z’的一個同態滿射。

(1)當char E=∞時，則

是同構映射，從而

。

但同構的環的商域也同構，即Z的商域

Z’的商域，又Z的商域是有理數域Q，E包含Z'，因而E包含Z'的商域，再由有理數域Q是素域，故Z’的商域也是素域，即域E包含素域。

(2)當char E=p時，則易知，

，故

．由於

是素域，故Z’是素域，從而域E包含素域。

綜上所證，定理得證。

這個定理告訴我們，一個域E，當特徵是

時，包含一個與有理數域同構的素域，當特徵是素數p時，E包含一個與

同構的素域，即有下列推論：

任意域包含且只包含一個素域，任意域都是一個素域的擴張。

設E是一個域，則當char E=∞時．E包含一個與Q同構的素域；當char E=p時，E包含一個與

同構的素域。

這個定理同時也説明，任意域都是一個素域的擴張，因此，可以從素域出發來研究擴域，而且如果這樣的擴域研究清楚了，也就是弄清楚了所有的域。但實踐證明，從素域出發來研究擴域並沒有什麼特別的優越性，因此，我們不是由素域出發而得到擴域，而是對任意域F出發通過添加來研究其擴域。 ^[2] 

若域△不含真子域，則稱△是一個素域。

例如：有理數域Q和以p(素數)為模的剩餘類域

都是素域。

設△是一個素域，若△特徵是

，則△與有理數域同構；若△的特徵是素數p，則△與以p為模的剩餘類域

同構。 ^[3] 

1. 證明Q和

(P為素數)都是素域。

證：(1)設F是Q的子域，則1∈F，若n是任一整數，於是有

，從而對任有理數芋

(p，q為整數)·有

，故

，即：

，從而Q=F。

(2)設F是

的子域，則[1]∈F，任意元素

，有

於是

，從而

。 ^[3] 

2. 設F是特徵為素數p的一個域，證明：

作成E的一個子域，且為E中的素域。

證：令

，定義映射

易證，

是同構映射，從而△是E的子域，再由

是素域可知△也是素域。 ^[3]