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子域
鎖定
設F是域P的非空子集，如果P的加法和乘法可看作F的加法和乘法，且對於這兩個代數運算，F也構成一個域，則稱F為P的一個子域或子體。例如，有理數域是實數域的一個子域， 而實數域又是複數域的一個子域。
[1]
- 中文名
- 子域
- 外文名
- subfield
- 所屬學科
- 數學
- 相關概念
- 擴域
- 舉 例
- 有理數域是實數域的一個子域
子域定義介紹
設
是一個域，K是F的一個非空子集，如果
，且
是域，則稱域K是域F的一個子域，域F是域K的一個擴域。
例1 全體有理數的集合Q、全體實數的集合R以及全體複數的集合C關於普通的加法和乘法均形成域。另外，對於任意的素數p，
關於普通的加法和乘法也形成域。而且Q是
的子域，
是R的子域，R是C的子域。
子域相關定理
定理1
設域K是域F的一個子域，則域F的加法羣
是子域K上的一個線性空間。
證明：取數乘運算為域F的乘法，則線性空間定義中的幾個條件都是自然成立的。根據此定理，可以將域F稱為子域K上的一個線性空間。
定義 設域K是域F的一個子域。若子域K上線性空間F的維數為m，則稱域F是域K的一個m次擴域，並稱此m維線性空間的每一個基
為域F關於域K的一個基，同時稱此線性空間的線性變換為域F關於域K的線性變換。
例2 每一個域
是該域F上的一個一維線性空間，每一個
都是該線性空間的基。
例3 複數域C是實數域R上的一個二維線性空間，向量組
是一個基，這裏
為虛數單位。
定理2
設
是特徵為p的有限域，
,K是F的一個非空子集，
是F的子域當且僅當存在
使
定理3
