矩問題

在概率論中，已知分佈函數為

，對於連續隨機變量

的k階原點矩

。假設已知它的若干階原點矩，能否求出其分佈函數呢？在物理學中，若有一根長為l的細棒，其線密度為

，繞一端點旋轉，則

分別表示該細棒的質量、靜力矩、轉動慣量等一系列量。我們考慮其逆問題，即若已知細棒的質量、靜力矩、轉動慣量等一系列量，能否確定其密度函數？實際上這就是矩問題給一個矩量序列

，在區間

找到一個正的有界非減函數

使之滿足：

這個問題Stieltjes於1894-1895年提出並得到了解決。

矩問題是一個從世紀開始研究的古典問題，但是基於研究的重要性現在被越來越多的人所重新認識。目前，矩問題的研究把算子理論、概率論、矩陣論結合起來，同時又與其他的研究方向相聯繫。 ^[1] 

在數學中，在試圖將一個度量μ映射到序列Mn求結果時就產生了矩問題。Mn表示為：

更一般地，對任意函數序列Mn可以表示為： ^[2] 

在經典設置中，μ是實線上的度量，M是序列{xn：n = 0,1,2，...}。 在這種形式中，問題出現在概率論中，詢問是否存在具有指定均值，方差等的概率測度，以及它是否是唯一的。

有三個經典時刻問題：可以將μ的支持作為整個實線的漢堡時刻問題; 對於[0，+∞]，Stieltjes矩問題; 並且一個有界區間的Hausdorff時刻問題，而不失一般性可能被認為是[0,1]。 ^[3] 

數字序列mn是當且僅當滿足某個正定條件時測量μ的矩的序列；即Hankel矩陣Hn，

應該是正半定的。這是因為正半定律漢克爾矩陣對應於線性函數

，使得

，並且

。假設

可以擴展到R[x*]。在單變量情況下，非負多項式總是寫為平方和。因此，在單變量情況下，線性函數對於所有非負多項式都是正的。通過Haviland定理，線性函數具有度量形式，即：

對於給定間隔[a，b]支持的度量mu的存在，類似形式的條件是必需的和足夠的。

證明這些結果的一種方法是考慮將多項式的線性函數：

代入到：

如果

是[a，b]上μ支持的矩陣，那麼顯然：

對於[a，b]上非負數的任何多項式P，φ（P）≥0。

Hausdorff矩問題中的μ的唯一性來自於Weierstrass逼近定理，其中説明在[0,1]的連續函數的空間中，多項式在均勻範數內是密集的。 對於無限間隔的問題，唯一性是一個更微妙的問題。 ^[4] 

用逼近方法來求解隨機最優化問題，核心之一就是廣義矩問題的求解。如逼近法使用的逼近概率測度是一些矩約束下的極值概率測度，根據隨機變量

的部分矩信息計算期望函數

的上下界的問題等，歸結起來都是解廣義矩問題。故通過分析廣義矩問題及其對偶問題的關係，提出了通過對偶問題來解廣義矩問題的一種新方法。