相平面法

二階時不變系統（可以是線性的，也可以是非線性的）一般可用常微分方程來描述。若在所討論的時間範圍內，對於任意給定的時刻，系統的一組狀態變量的值都是已知的，則可以掌握系統運動的全部信息。通過相軌跡，就可以做到這一點。以x為橫座標，x·為縱座標，構成一個直角座標平面，稱為相平面；在相平面上表示系統運動狀態的點(x，x·)移動所形成的軌跡稱為相軌跡。相軌跡的起始點由系統的初始條件（x₀，x·₀）確定，相軌跡上用箭頭方向表示隨參變量時間t的增加，系統的運動方向。以各種可能的初始條件為起始點，可以得到相軌跡簇，相平面和相軌跡簇合稱為相平面圖。 ^[1] 

(1)相軌跡的斜率若相軌跡上任意一點的斜率為a，則

(2)相軌跡的對稱性

按照圖形對稱的條件，關於橫軸或縱軸對稱的曲線，其對稱點處的斜率大小相等，符號相反；關於原點對稱的曲線，其對稱點處斜率大小相等，符號相同。

(3)相平面圖的奇點

由相軌跡斜率的定義可知，相平面上的一個點只要不同時滿足某一條件，則該點的相軌跡斜率確定，通過該點的相軌跡只能有一條，即相軌跡曲線簇不會在該點相交；同時滿足的點稱為奇點，該點的相軌跡斜率為0/0型的不定形式，通過該點的相軌跡可能不止一條，且彼此的斜率也不相同，即相軌跡曲線簇在該點相交。

(4)相軌跡的運動方向

在相平面的上半平面，x·>0，所以系統狀態沿相軌跡曲線運動的方向是x增大的方向，即向右運動；在相平面的下半平面，則是向左運動。因此，有時候在繪製相軌跡時也可不用箭頭標明方向。 ^[1] 

相軌跡的繪製方法有解析法與圖解法兩種。解析法通過求解微分方程找出x與x·的解析關係，從而在相平面上繪製相軌跡。具體方法為參變量t消去法和直接積分法。圖解法常用的有兩種，即等傾線法和圓弧近似法。

1.解析法。解析法適用於比較簡單，或者可以分段線性化的微分方程。可以利用直接積分法得出相軌跡方程。

2.圖解法。當系統的微分方程難以求解時，可採用圖解法，直接通過各種逐步作圖的辦法，在相平面上畫出相軌跡。圖解法有多種，主要是等傾線法。 ^[2]