相似檢驗

相似檢驗是功效函數在參數空間的特定子集上保持常數的檢驗。設總體分佈族F={F_θ(x)，θ∈Θ}，X為樣本。一般對於Θ的子集Θ¹，其功效函數E_θφ(x)在Θ¹上為常數，則稱檢驗φ(x)對於Θ¹相似，或者説，φ(x)關於分佈族{F_θ(x)，θ∈Θ¹}相似。關於H₀： θ∈Θ₀←→H₁： θ∈Θ₁=Θ-Θ₀的檢驗問題，如果檢驗函數φ(x)的水平是α，且對於Θ₀和Θ₁公共邊界W上的各點θ，E_θφ(x)=α總成立，則稱檢驗φ(x)是邊界相似的，簡稱相似的.若t(x)是關於分佈族{F_θ(x)，θ∈W}的一個充分統計量，則對樣本空間的任意固定的事件A，對一切θ∈W，存在公共的P_θ(A/t)。對檢驗φ(x)有定義：如果存在α，0≤α≤1，使對ᗄθ∈W，有E_θ[φ(x)/t]=α (a.e. P_θ)，則稱檢驗φ對於(t，W)有奈曼結構，它顯然關於W相似。 ^[2] 

亦稱勢函數，假設檢驗中的一種概率，是指採用某檢驗時否定原假設的概率，設總體ξ的分佈函數為F_θ(x)，θ∈Θ，X=(X₁，X₂，…，X_n)是一個樣本，Θ₀為參數空間Θ的非空子集，假定Θ₁為Θ-Θ₀的一個子集，給定假設H₀：θ∈Θ₀和備選假設H₁：θ∈Θ₁， φ(x)為一個檢驗，稱定義在Θ₁上的函數：

為檢驗φ的功效函數。β_φ(θ)是當參數真值為θ時，拒絕H₀的概率，當θ∈Θ₀時，即為犯第一類錯誤的概率。當θ∈Θ₁時，1-β_φ(θ)是犯第二類錯誤的概率，此時，β_φ(θ)則是做出正確決定的概率，稱為功效。

亦稱統計檢驗，統計推斷的基本內容之一。在統計推斷中，通常把有關一個總體ζ未知分佈的假設，或已知分佈未知其參效的假設，叫做統計假設，記作H₀；根據具體問題的內容所擬成的統計假設，叫做待檢假設，記作H₁。

先假設總體ζ具有某個統計特性(例如具有某種參數、或服從某種分佈)，然後通過總體ζ的樣本X₁、X₂、…、X_n的一組實現值x₁，x₂，…，x_n檢驗這個假設是否可信的方法，叫做假設檢驗。

假設檢驗的主要類型有兩種：一是已知總體的分佈、對其中的參數進行假設檢驗;一是未知總體的分佈、對總體的分佈函數進行假設檢驗，前者稱為參數假設檢驗，後者稱為非參數假設檢驗。

參數假設檢驗的方法，按選用統計量服從的分佈有U-檢驗法、τ一檢驗法、X-檢驗法、F-檢驗法等；非參數假設檢驗常用的有χ擬合適度檢驗、正態概率紙檢驗等。具體作法在專門的數理統計書籍中都能查到。

是以概率論為基礎，以隨機現象的觀察資料為出發點來研究隨機現象的學科。它是屬於應用數學的重要分支。它的基本任務是：研究如何以有效的方式蒐集，整理和分析受到隨機性影響的數據，以便對所考察的問題作出推斷、預測，直至為採取決策及行動提供依據或建議。

數理統計包括以下主要內容：

①數據整理和樣本統計量的研究 這是數理統計的基礎部分。

②統計推斷理論 根據一個或幾個樣本來推測判斷母體的情況，叫做統計推斷。這是數理統計的核心部分.統計推斷理論包括兩大方面——參數估計和假設檢驗。參數估計就是根據樣本來估計總體的某些參數.假設檢驗就是針對實際問題作出假設，然後根據樣本來檢驗這假設，以大的概率(例如0.95或0.99)作出判斷.

③方差分析 這是推斷多個子樣是否來自同一個母體的統計分析方法。

④相關分析和迴歸分析 數理統計中研究兩個或多個隨機變量統計相關性的理論和方法，叫做相關分析.包括找近似函數關係、檢驗相關的密切程度，通過一個變量預測和控制另一個變量等等，由此進行變量間關係的分析，叫做迴歸分析。

⑤抽樣理論 研究總體中抽取樣本的方法.一個好的抽樣方案，一方面要求抽取的樣本總數儘可能少，另一方面又要求作出判斷正確的概率儘可能大。抽樣方法有單式抽樣(一次取出隨機樣本，據此作出推斷)、複式抽樣(光取一個隨機樣本，必要時再取一個隨機樣本，據此做出推斷)和序貫抽樣(依次取隨機樣本，直到作出判斷為止)。

除此而外，數理統計還包括質量控制、試驗設計、多元分析、極值分析以及過程統計等分支。 ^[3]