功效函數

在進行假設檢時，我們要確立原假設和備擇假設，為了選擇哪種假設，我們規定了拒絕域。如果樣本落在拒絕域內，我們拒絕原假設，接受備擇假設，否則接受原假設。這樣我們在應用某種檢驗做判斷時，可能會犯如下兩種錯誤：原假設是對的，我們卻拒絕了原假設，這稱為第一類錯誤；相反，原假設是錯的，我們卻接受了原假設，這稱為第二類錯誤。 ^[1]  在檢驗中我們希望犯兩類錯誤的概率都儘可能地小，但實際上我們做不到這一點，為了説明原因，我們需要引進功效函數這一概念。 ^[2] 

設某檢驗問題的拒絕域為W，則樣本觀測值X落在拒絕域W內的概率稱為該檢驗的功效函數，記為

，

為原假設和備擇假設中的參數。 ^[3] 

當原假設成立時，犯第一類錯誤的概率就等於

。當備擇假設成立時，犯第二類錯誤的概率就等於

。

下面我們通過一個例子來説明我們無法使一個檢驗犯第一類、第二類錯誤的概率同時減少。

某廠生產的合金強度服從正態分佈

，其中

的設計值為不低於110

。為保證質量，該廠每天都要對生產情況做例行檢查，以判斷生產是否正常進行，即該合金的平均強度不低於110

。某天從生產的產品中隨機抽取25塊合金，測得其強度值為

，均值為

，問當日生產是否正常。

對於本例，其拒絕域為

注意到這個功效函數是

的減函數，如圖1利用這個功效函數易得犯兩類錯誤的概率分別為

（原假設成立），

（備擇假設成立）。

由此可以得出犯兩類錯誤的概率之間的關係：

1、當第一類錯誤的概率減少時，c隨之減小，而c的減小必導致犯第二類錯誤的概率增大。

2、當第二類錯誤的概率減少時，c隨之增大，而c的增大必導致犯第一類錯誤的概率增大。

這一現象説明：兩類錯誤的一個減小必導致另一個的增大。