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皮卡定理

鎖定
皮卡定理可以指兩個不同的數學定理,分別是皮卡大定理和皮卡小定理,它們都是關於解析函數值域。由法國數學家埃米爾·皮卡證明。
中文名
皮卡定理
外文名
Picard theorem
提出者
法國數學家埃米爾·皮卡
適用領域
關於解析函數的值域
應用學科
數學
函數exp(1/z),在z=0處具有本性奇點。z的色相表示它的輻角,而發光度則表示絕對值。這個圖像説明了接近於奇點時,可以取得任何非零的值。

皮卡定理皮卡小定理

皮卡小定理説明,如果函數
是整函數且不是常數,則
的值域或者是整個複平面,或者只去掉一個點。 這個定理在1879年證明。它強化了劉維爾定理:任何不是常數的整函數都一定是無界的。
皮卡的原始證明利用了模函數(Modular lambda function)。
證明概要如下:
值域不包含複平面上的兩個點,不失一般性地,可以假設
的值域不包含0和1,設
是其值域中的點,在這個點附近,可以選取模函數
的逆的某個單值解析分支,記作
。利用模函數的通用覆蓋性和單值性定理,可以將
點(
)附近定義的複合映射
解析延拓到整個複平面上,從而得到一個在複平面上單值解析但有界的函數。根據劉維爾定理,該函數為常函數。因此
也是常函數。

皮卡定理皮卡大定理

如果
在點w具有本性奇點,那麼在任何含有w的開集中,對任意非∞的複數值A,有無窮多個z使得
,A最多隻有一個例外。 以上定理是説,全純函數在本性奇點的任意鄰域內,“無窮多次”地取到每一個有限的復值,至多有一個例外值。 這個定理強化了魏爾施特拉斯-卡索拉蒂定理,它只保證了f的值域在複平面內是稠密的。

皮卡定理性質

這個“唯一的例外”實際上在兩個定理中都是需要的:指數函數
是一個整函數,永遠不能是零。
在0處具有本性奇點,但仍然不能取得零。
皮卡大定理在一個更一般的形式中也是正確的,可以應用於亞純函數:如果M是一個黎曼曲面,w 是M上的一個點,
表示黎曼球面,
\
是一個全純函數,在w處具有本性奇點,那麼在M的任何含有w的開子集中,函數f都可以取得除了兩個點以外的所有
的點。
例如,亞純函數
在z = 0處具有本性奇點,在0的任何鄰域內都無窮多次取得值∞;但它無法取得0或1的值。
皮卡小定理可以從皮卡大定理推出,因為整函數要麼是多項式,要麼在無窮遠處具有本性奇點。 [1] 

皮卡定理皮卡定理介紹

皮卡定理是兩個不同的數學定理的泛稱,由法國數學家埃米爾·皮卡證明。這兩個定理都涉及解析函數的值域。
參考資料
  • 1.    Segal S L. Nine introductions in complex analysis[J]. 1981.