本性奇點

如果函數

在其孤立奇點b的一個去心鄰域內展開成洛朗級數，其中含有無窮多個(z-b)的負冪項，則稱b點為

的本性奇點。這與前面的定義是一致的，因為如果

時函數

在b點鄰域內展成的洛朗級數含有有限個(z-b)的負冪次項，那麼，若

在b點的洛朗展開式含有無窮多個(z-b)的負冪次項，則極限

必然不存在，而這正是前面給出的本性奇點定義。例如，函數

，當z=0時其值不確定，而在z=0的鄰域內解析，所以z=0是

的孤立奇點。它展開成冪級數為

含有無限多個負冪項，所以z=0是它的本性奇點。

又如，z=1是函數

的孤立奇點，當

時，該函數的極限不存在，且不為

，所以z=1是該函數的本性奇點。也可以在

環域內將該函數展開成洛朗級數

可見，上式有無窮多個(1一z)的負冪項。所以z=1是該函數的本性奇點。 ^[1] 

定理1(維爾斯特拉斯定理) ：設

為函數

的孤立奇點，則

為

的本性奇點的充分必要條件是：對於任何複數A(包括無窮)，一定存在收斂於

的序列

，使得

．

換句話説，在本性奇點的無論怎樣小的鄰環內，

可以任意接近預先給定的任何有限數或趨於無窮．

證 ： 由本性奇點定義可知，條件的充分性是明顯的，以下證明必要性．

(1)若

，我們要證明存在一個收斂於

的序列

，使得

．事實上，因為

是

的本性奇點，所以

在

的鄰環內無界。也就是説，對於任意正整數n，都可以找到點

滿足

，使得

.於是，有一個趨於

的序列{%)，使

(2)若A是任意有限複數．如果在

點的任意小的鄰環內均存在z點，使得

，則顯然有一個趨於

的序列

，使

．如果存在

的一個鄰環，在其中

．則函數

在這個鄰環內解析，並且可以證明

是

的本性奇點．事實上，如果

是

的可去奇點或極點，則當

時

趨於有限數或無窮大．從而，當

時

趨於有限數，與

為

的本性奇點的假設矛盾．於是，根據(1)的證明，必存在趨於

的序列

，使得

．因此，

．定理證畢。

定理2(畢卡定理) ： 如果

為

的本性奇點，則對於每一個有限複數 A(至多有一個例外值)，均有趨於

的點列

，使

。 ^[2]