病態方程組

設方程組為Ax=b，係數矩陣A和常數向量b的擾動分別記為：

和

，則實際求解的方程組為

。 ^[1] 

求解線性方程組Ax=b時，設A是n階非奇異矩陣，‖·‖為矩陣的任一種從屬範數，則

,稱為矩陣A的條件數，其中

是A的逆矩陣。 ^[1] 

病態方程組是指因係數的很小改變卻導致解改變很大的方程組。病態的另外一個解釋是很大範圍的解都能近似滿足方程組。因為舍入誤差會使係數有一些小的改變，那麼對於病態方程組，這些人為的改變會導致解有很大的誤差。 ^[2] 

設方程組為Ax=b，係數矩陣A和常數向量b的擾動分別記為：

和

，如果

和

很小，而

很大，則稱方程組Ax=b為病態（ill-conditioned）方程組，稱係數矩陣A為關於求解方程組或求逆的病態矩陣；反之，如果

和

微小時，

也很微小，則稱方程組Ax=b為良態（well-conditioned）方程組，稱係數矩陣A為關於求解方程組或求逆的良態矩陣。病態方程組對任何算法都將產生數值不穩定性（如用LU分解法求解線性方程組時，更換主元有可能使解的精確度大大下降）。 ^[1] 

求解線性方程組Ax=b時，設A是n階非奇異矩陣，當條件數Cond（A）比較大時，A和b的小擾動會引起解的較大誤差，所以條件數Cond（A）刻畫了方程組Ax=b的性態。如果條件數比較大，就説方程組是“病態”的；如果條件數比較小，就説方程組是“良態”的；當然，病態和良態是相對的。 ^[1] 

設有方程組：

易得其精確解為

。

若常數項有一個擾動，得到方程組：

則其解為

。

可見A或b中元素的0.0001的微小變化會導致方程組解的巨大差異，這樣的方程組就是“病態”方程組，可以利用範數來描述向量和矩陣的擾動誤差。 ^[3] 

對於病態的線性方程組，其求解自然要難於良態的方程組，或要採取特殊的方法才能求出有用的解。在求解以前，怎樣判斷和發現Ax=b是病態的呢? ^[4] 

根據病態方程組的定義，可以通過計算條件數來判斷。由於定義中涉及A ，故計算量太大而通常不被採用．人們經常利用的是估計條件數的方法。 ^[4] 

在特殊情況下，可以依據下面出現的情況來判斷：

（1）當det(A)相對來説很小或者A的某些行（或列）近似線性相關時，Ax=b可能是病態的；

（2）如果用選主元消去法求解Ax=b，在A的約化過程中出現小的主元，Ax=b可能是病態的；

（3）當解Ax=b時出現一個很大的解，Ax=b可能是病態的；

（4）當係數矩陣A的元素數量級相差很大，並且無一定規則時，Ax=b可能是病態的。 ^[4] 

若發現Ax=b可能是病態的．通常有四種處理原則：

採用高精度的算術運算

如利用雙倍字長進行計算，以便改善和減輕矩陣病態的影響，但計算時間將大大增加。 ^[4] 

採用預處理方法

尋求非奇異矩陣P，Q，使求解Ax=b（設A為n維非奇異方陣）轉化為求解

或

，其中

，且改善A的條件數

。於是，可先求解

，再求解

。當A為對稱正定矩陣時，一般選取P，Q為對角陣或三角陣。 ^[4] 

對病態線性方程組Ax=b進行預處理，如取P，Q為對角陣，稱為平衡方法，即當係數矩陣A的元素數量級相差很大時，可採用行均衡或列均衡方法，這時矩陣A的條件數可能得到改善。所謂行均衡，是在解Ax=b之前，對A的每一行都乘以適當的數，使A所有的行按照某種範數大體上有相同的長度。 ^[4] 

設

非奇異，計算

，令

於是，求解Ax=b化為求解

或

，這時有

。 ^[4] 

採用特殊的數值解法

採用某些特殊的數值方法求解。 ^[4] 

找病因改問題

尋找出現病態的原因，改變原問題的提法。 ^[4]