無限羣

無限羣是指元素個數為無限的羣。拓撲羣、李羣、典型羣、代數羣、算術羣等都是無限羣。

無限羣的研究開始於19世紀下半葉。正當抽象羣的概念形成之際，數學家們注意到了一類元素個數為無限的羣。1879年弗羅貝尼烏斯在他的文章中開始提到抽象羣，而德國數學家菲利克斯·克萊因因在他著名的“埃朗根綱領”中則使用無限變換羣對幾何學進行了分類。克萊因和亨利·龐加萊在他們關於自守函數的工作中曾經用到離散型的無限羣，即不連續羣。挪威數學家S.李在1883年關於連續羣的文章中引進了無限連續羣，他藉助於一種微分方程來定義這種羣，所得的變換並不依賴於有限多個連續的參量，而是依賴於任意函數，這種無限羣被稱為無限連續李羣(見李羣)。 ^[1] 

無限羣論在20世紀初已有專著，如原蘇聯數學家О.Ю.施密特在1916年發表的《抽象羣論》可為代表。20世紀30年代以來，無限羣研究有了迅速的發展。許多有限羣的結果都被推廣到無限羣上去，無限羣所特有的一些問題，如自由羣、羣的本原類、伯恩塞德問題等也得到深入研究。無限羣論在研究一般代數系統中起到了示範作用。

羣是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構;是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個羣。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個羣;時針轉動(關於模12加法)，構成一個羣。

滿足交換律的羣，稱為交換羣。

羣是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在羣。例如，可以用研究圖形在變換羣下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換羣對幾何學進行分類。可以説，不瞭解羣，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入羣的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。 ^[2] 

20世紀30年代以來，無限羣研究有了迅速的發展。與研究其他的代數系統一樣，無限羣論的最終目的是刻畫所有的羣。基於有限羣論積累的許多成果，無限羣論開始研究的都是那些接近有限羣的羣類，以及在有限羣論中研究過的那些類型，諸如交換羣、冪零羣、可解羣等。所研究的問題大致有兩類，一類是把關於有限羣的結果推廣到儘可能廣泛的無限羣上去；一類是無限羣所特有的一些問題，例如關於自由羣、羣的本原類、伯恩賽德問題等。

關於無限交換羣已在交換羣中述及，因此以下提到的無限羣均指非交換羣。

劃分出一些羣類是研究羣的首要問題，常用的劃分羣類的方法有下列幾種。①鏈條件，是指對子羣適合極大(小)條件，即該羣中任意非空子羣集都有極大(小)者。②局部系概念,如果羣G的某個子羣集L滿足條件a.L中子羣的並集等於整個羣G;b.L中任意兩個子羣含於L中的某個子羣內，那麼L稱為局部系。如果G中存在一個由具有性質p的子羣組成的局部系,就説羣G局部地有性質p或局部p羣。於是就有局部有限羣、局部冪零(可解)羣類。③正規系（不變系）的概念，是熟知的正規列、不變列的推廣。可用它們來定義所謂RN羣、RI羣等。④要求對某些構成方法，諸如“取子羣”、“取商羣”、“取直積”、“取擴張”等是封閉的,也可劃分出一些羣類。最重要的本原類就是關於“取子羣”、“取商羣”、“取直積”封閉的羣類。

作為把一類無限羣化歸為對有限羣的研究的例子，是切爾尼科夫定理：一個羣是對子羣有極小條件的可解羣，當且僅當它是對子羣有極小條件的可除交換羣藉助有限可解羣的擴張。作為推廣有限羣論的定理的例子，是R.貝爾的結果:局部正規羣(指它的任意有限子集含於它的某個有限正規子羣中)的兩個西洛p子羣是局部共軛的。

無限羣論中所特有的局部定理，回答了一個羣局部地具有性質p是否它本身也具有性質p的問題。例如對於RN羣有局部定理:局部RN羣(局部RI羣)是RN羣(RI羣)。Α.И.馬爾採夫給出了一個證明局部定理的統一方法，即後來稱作馬爾採夫-塔爾斯基完備定理中所指出的方法。

羣的構成方法是羣論的重要課題之一。尤其是有限羣的擴張問題。研究用生成元和定義關係給出的羣，以及羣的直積、羣的自由積和自由羣等。

為方便起見,引入空字即不含任何元素的字。如果有α∈I，α，b∈M,使集合,那麼(α,b)稱為一個逆對。令G是一切滿足以下條件的M字全體。①在字(1)中任意兩個相鄰元素αi,αi+1不組成逆對;②規定G中兩個元素α1α2…αn和b1b2…bm之乘積:若(αn,b1)不是逆對,則為G中M字α1…αnb1…bm；（此時可能出現空字或只有αj或只有bj的情況）。易知在此運算下空字是單位元,而G中每一元都有逆元。可以證明這個乘法適合結合律，因而G是一個羣，稱之為以x為自由生成元集的自由羣。

自由羣G有如下的泛性質：任給一羣H,任給集x（G的自由生成元集）到集H的一個映射φ,則φ可擴充為羣G到羣H的一個同態映射。由此可得，任意羣H都是某個自由羣的商羣。關於自由羣有重要的尼爾森－施賴埃爾定理：自由羣的任意異於單位的子羣本身也是自由羣。它的推廣是對一些羣的自由積的子羣的刻畫，即著名的庫洛什定理：若，而H是羣G的子羣,則羣H有自由分解，其中F是自由羣,而任一Bβ在G中共軛於某個Aα的一個子羣。羣G稱為其子羣Aα（異於單位子羣）的自由積，是指①集合生成整個羣G。② 若這些元素αi都異於單位元而(2)中相鄰的兩個元素沒有同屬於一個Aα者，則這樣的表示法是惟一的。此時記作。

羣論中有一些著名問題，例如，在具有有限個生成元和有限個定義關係式的羣中，討論兩個元素是否相等的所謂恆等問題；討論兩個元素是否共軛的所謂共軛問題；討論這樣兩個羣是否同構的所謂同構問題；討論有限生成的週期羣是否為有限羣的所謂伯恩賽德問題。E.C.戈洛德對伯恩賽德問題給出了反例。於是退而提出了有界伯恩賽德問題:具有k個生成元且滿足恆等式xn=1的羣（都記作B(n，k)）是否為有限羣。已經證明,B(6,k)都是有限羣，而當奇數n≥665,k>1時，總有是無限羣的B(n,k)，後者即∏.С.諾維科夫和 С.И.阿江的著名定理。無限羣論在研究一般代數系統中起着示範作用。它本身也在繼續發展。 ^[3] 

具有拓撲結構的羣。設G既是羣，又是拓撲空間，而且羣的乘法及求逆運算都是連續映射，則稱G為拓撲羣。例如，實數集R和複數集C，以及由它們作出的向量空間R，C對於通常的加法和距離拓撲都是拓撲羣.設G₁，G₂都是拓撲羣，φ是G₁到G₂的映射，若它既是羣同態又是連續映射，則稱φ為連續同態，簡稱同態.全體拓撲羣以及拓撲羣間的同態，構成拓撲羣範疇.拓撲羣的概念來源於連續變換羣.當同時考慮這種羣中羣的性質及取極限的運算時，就產生了拓撲羣.李(Lie，M.S.)在討論微分方程解的分類問題時，發現了一類連續羣，李對其進行了系統的研究，得到了日後以他名字命名的李羣。李是拓撲羣論的先驅者。

李羣是由挪威數學家S.李創立的一類連續變換羣。

1870年前後，S.李開始研究連續變換羣的概念，並用它們闡明微分方程的解，將微分方程進行分類。1874年，他建立了李羣的一般理論。一個李羣可以表示成如下形式：

i=1，2，…，n，其中f_i對x_i和a_i都是解析的，x_i是變量，而a_i是參數，(x₁，x₂，…，x_n)表示n維空間中的一點。變量或參數都取實數值或複數值。1883年，S.李藉助於一組微分方程定義連續變換羣。他的目的是用各種不同的方法把常微分方程的不同類型化成可由積分求解的形式，並建立起它們之間的一致性。S.李證明，如果一階常微分方程接受由某個無窮小變換所確定的變換羣，那麼這個微分方程的解就可由積分式表達。他還考察了許多種帶有已給變換的方程。這樣一來，S.李就依據無窮小變換把微分方程進行分類。

李羣理論在最初的相當長一段時間內僅與一些微分方程的積分有聯繫，而與數學的其他分支關係不大。在19世紀的最後10年以及20世紀，李羣理論在各種不同方向，主要是代數學和拓撲學方面得到了迅速的發展，成為數學的一個重要分支。李羣理論的第一個近代化的敍述是由原蘇聯數學家龐特里亞金於1938年給出的。20世紀50年代，李羣理論的發展進入了一個新的階段，主要標誌是代數羣論的創立。代數幾何方法的應用使李羣理論的經典結果得到新的闡述，從而揭示了它與函數論、數論等理論的深刻聯繫。緊接着，p進李羣的理論也得到重大發展。事實上，李羣理論與數學的幾個主要分支都有聯繫：通過李變換羣與幾何學、拓撲學的聯繫，通過線性表示論與分析的聯繫等。李羣在物理學和力學中也有着重要應用。 ^[4]