歸除

歸是算除法中的專用名詞,我國古代珠算歸除法中把一位除法稱單歸。《算法統宗》卷一：“九除法者單位者歸”“歸者呼九歸之歌”即指此,兩位和多位除法稱歸除。歸的本意是還原,即在被除數上加上一個數,有歸還之意。“歸”用加法,而“除”用減法,合之為歸除法。

1.算術四則運算之一除法也。明程大位《算法統宗》卷一“乘除用字釋”中稱“除之者，謂九歸歸除商除之類”當又指珠算除法中歸除法(單歸、歸除)和商除法。

2中算又作減法解,《算法統宗》卷“用字凡例”稱:“除,減少也”,“九歸歸除法”條中稱:除者，呼九字相生之數，次第除之，降積，謂之除”珠算歸除法中,用九歸訣或撞歸訣求得試商後,將其與除數次位及其後諸位數相乘之積，從被除數或餘數中減去，稱為除,即減積。又珠算定身除法,亦稱減除法或“減法”《算法統宗》卷一”減法者，即曰定身除法約存原本之數，而除之故謂之減”即合此意。

1.置數:

把被除數和除數分別置放在算盤中部和右端,除數位數較少時亦可默記不置;

2.定位:

用盤上移檔法或商的公式定位法確定商數的數位；

3.計算:

除數和被除數均由最高位數起自左向右依次運算,計算分“歸”和“除”兩個步驟。“歸“是用除數最高位數除被除數最高位數，根據估商情況，把除數、被除數、商數和餘數歸納成一句口訣,運算時以口訣指導撥珠，求出試商，若試商偏大或偏小，還需調商(補商或退商)；“除”是從被除數中減去試商與除數次位及以下各位數字相乘之積一位除法，只用歸法(即單歸)，多位除法，每求一位商，都要進行“歸”、“除”兩步運算。

4.減積檔次規則:

從被除數(或餘數)中減去試商與除數次位及其後各位的乘積的檔次規則是:除數是第幾位，它與商數的乘積的個位數，從商數右面第幾檔減去，積的十位數則從個位數的左一檔減去。即試商與除數第二位數相乘，從商後第一位減去其積的十位，第二位減去積的個位；試商與除數第三位數相乘，從商後第二位減去其積的十位，第三位減去積的個位,餘類推。

5.計算結束後,根據算盤上商的有效數字和確定的商的數位,寫出商數。

解：(1)置被除數4392.82於盤中,除數23.9於盤右端,如圖1

用除法公式定位法m-n+1=4-2+1=3位,確定該題商數為正三位數;

(2)以除數首位2除被除數首位4,“逢二進一求得試商1,試商1乘除數次位3“一三03“從試商1後第二檔減去積3,試商1乘除數第三位9,“一九09”從試商1後第三檔減去積9,如圖2

(3)用撞歸法求次商,“見二無除作九二”把餘數200282首位2改作商數9,在其下檔加餘數2,用退商法調商“無除退一下還二”把商數9減去1,在下檔上加2,以次商8乘除數次位3”八三24”,從次商8後一二檔減積24,以次商8乘除數第三位9“八九72”,從次商8後二、三檔減積72,如圖3。

(4)以除數239除餘數9082,“逢六進三”求出第三位商3,從餘數中減去3×39之積117,如圖4

(5)以除數239除餘數1912,“二一改作五”將餘數首位1改作商數5,餘數較大,用補商法調商,“逢六進三”在試商5上加3,確商為8,餘數為312,減去8×39之積312,恰好除盡,商數為183.8,如圖5

一歸：逢一進一十，逢二進二十，逢三進三十，逢四進四十，逢五進五十，逢六進六十，逢七進七十，逢八進八十，逢九進九十

二歸：二一改作五（二一添作五），逢二進一十

三歸：三一三十一，三二六十二，逢三進一十

四歸：四一二十二，四二改作五（四二添作五），四三七十二，逢四進一十

五歸：五一倍作二，五二倍作四，五三倍作六，五四倍作八，逢五進一十

六歸：六一下加四，六二三十二，六三改作五（六三添作五），六四六十四，六五八十二，逢六進一十

七歸：七一下加三，七二下加六，七三四十二，七四五十五，七五七十一，七六八十四，逢七進一十

八歸：八一下加二，八二下加四，八三下加六，八四改作五（八四添作五），八五六十二，八六七十四，八七八十六，逢八進一十

九歸：九一下加一，九二下加二，九三下加三，九四下加四，九五下加五，九六下加六，九七下加七，九八下加八，逢九進一十

九歸口訣按其來源及含義，用法分為四類，即

進商類"逢幾進幾"的口訣：被除數（或餘數）首位數等於或大於被除數時使用。此類口訣均不指明除數是幾，如“逢三進六”，是指除數是2，被除數首位數不小於6時，在被除數本檔拔去6（逢六），在左一檔拔加商數3（進三）。

改商類：“改作幾”的口訣：被除數（或餘數）首位數小於除數，能除盡無餘數時使用。此類口訣第一個字為除數，第二個字為被除數（或餘數），第五個字為商數。如：“二一改作五”是反指除數是2，被除數是1，指被除數首位數1添上4，改作 5。

商餘類“幾餘幾”的口訣：被除數（或餘數）首位數小於除數，除不盡的餘數時使用。此類口訣第一字為除數，第二字為被除數，第三字為商數，第五字為餘數。如“七三四餘二”，是指除數是7，被除數是3時，把被除數的3改作 高數4，並要其右一檔加上餘數2。

加餘類“幾加幾”的口訣：被除數（或餘數）首位數小於除數，除不盡的餘數，而被除數首位數又與商數相同時使用。此類口訣第一個字為除數，第二字為被除數和商數，第五字為餘數。如“七一下加三”，是指除數是7，除數是1時，把被除數的1視同商數1，並在其右一檔加上餘數3。

退商口訣共9句：

無除退一下還一，無除退一下還二，無除退一下還三，

無除退一下還四，無除退一下還五，無除退一下還六，

無除退一下還七，無除退一下還八，無除退一下還九，

商九口訣（又叫撞歸）共9句：

見一無除作九一，見二無除作九二，見三無除作九三，

見四無除作九四，見五無除作九五，見六無除作九六，

見七無除作九七，見八無除作九八，見九無除作九九.

歸除法源於籌算,籌算除法最初用商除法,宋後改用歸除法。商除演變為歸除，其間經過增成法,九歸古括、九歸新括,並補充撞歸訣、起一訣,逐步形成歸除算法體系。

北宋,沈括《夢溪筆談》稱“算術多門,如求一、上驅、搭因、重因之類,皆不離乘除,唯增成一法稍異,其術都不用乘除,但補虧就盈而已。例如欲九除者增一便是,八除者增二便是,但一位一因之,若位數少,則頗簡捷、位數多,則愈繁,不若乘除之有常”。

南宋楊輝《乘除通變算寶》載有四句新括:“歸數求成十,歸餘自上加,半而為五計,定位退無差”“九歸詳説”中著錄的32句“九歸古括”乃是九歸新括的註解,可以認為是現今九歸口訣的雛形(詳見“九歸古括”)。

元代朱世傑《算學啓蒙》載有九歸除法口訣36句與今九歸口訣相近(參見“九歸口訣“條)該書並載“九歸除法門”歌訣如下:

實少法多從法歸；實多滿法進前居；常存除數專心記；法實相停九十餘;

但遇無除還頭位；然將釋九數呼除；流傳故泄真消息；求一穿韜總不如

其中“法實相停九十餘”即指撞歸而言,“但遇無除還頭位”即指起一(退商)而言。

其後算書如元代安止齋、何平子《詳明算法》,明代程大位《算法統宗》中所載九歸口訣均與朱世傑書中口訣基本相同《詳明算法》(1373年)與《丁巨算法》(1355年)均載有撞歸口訣,較朝鮮所傳《授時歷捷法立成》(1344年)撞歸口幾乎是同一時期。

《詳明算法》所載“歸除歌訣”如下:

惟有歸除法更奇，將身歸了次除之，有歸若是無除數，起一回將原數旋。

若遇本歸歸不得，撞歸之法莫教遲，若人識得中問意，算學雖深儘可知。

上列歌訣已將歸除、退商、撞歸之法作了完備簡要歸納,以至明代程大位《算法統宗》亦錄入此訣和“九歸歌”、“歸除歌”、“撞歸法”、“起一還原法”並大加推崇歸除法,遂使歸除流傳極廣,延續近世。