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正餘弦定理
鎖定
- 中文名
- 正餘弦定理
- 外文名
- The Law of Sines/The Law of Cosines
- 別 名
- The Sine Law/The Cosine Law
正餘弦定理正弦定理
正弦定理
[1]
(Sine theorem)
(1)已知三角形的兩角與一邊,解三角形
(2)已知三角形的兩邊和其中一邊所對的角,解三角形
(3)運用a:b:c=sinA:sinB:sinC解決角之間的轉換關係
證明
步驟1
在鋭角△ABC中,設BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到
步驟2
證明
:
作直徑BD交⊙O於D.
連接DA.
因為在同圓或等圓中同弧所對的圓周角相等,所以∠D等於∠C.
所以
類似可證其餘兩個等式。
正餘弦定理餘弦定理
正餘弦定理性質
對於任意三角形,任何一邊的平方等於其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的餘弦的兩倍積,若三邊為a,b,c 三角為A,B,C ,則滿足性質:
設△ABC的三邊是a、b、c,它們所對的角分別是A、B、C,則有
a=b·cos C+c·cos B, b=c·cos A+a·cos C, c=a·cos B+b·cos A。
正餘弦定理證明
平面向量證法
∵如圖2,有a+b=c (平行四邊形定則:兩個鄰邊之間的對角線代表兩個鄰邊大小)
∴c·c=(a+b)·(a+b)
∴c²=a·a+2a·b+b·b∴c²=a²+b²+2|a||b|cos(π-θ)
(以上粗體字符表示向量)
又∵cos(π-θ)=-cosθ
∴c²=a²+b²-2|a||b|cosθ(注意:這裏用到了三角函數公式)再拆開,得c²=a²+b²-2abcosC
即
同理可證其他。
正餘弦定理平面幾何證法
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所對的邊為c,∠B所對的邊為b,∠A所對的邊為a
則有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c
根據勾股定理可得:
AC²=AD²+DC²
b²=(sinB c)²+(a-cosB c)²
b²=(sinB*c)²+a²-2ac cosB+(cosB)²c²
b²=(sin²B+cos²B) c²-2ac cosB+a²
b²=c²+a²-2ac cosB
cosB=(c²+a²-b²)/2ac