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正項級數
鎖定
正項級數,是一種數學用語。在級數理論中,正項級數是非常重要的一種,對一般級數的研究有時可以通過對正項級數的研究來獲得結果,就像非負函數廣義積分和一般廣義積分的關係一樣。所謂正項級數是這樣一類級數:級數的每一項都是非負的。正項級數收斂性的判別方法主要包括:利用部分和數列判別法、比較原則、比式判別法、根式判別法、積分判別法以及拉貝判別法等。
- 中文名
- 正項級數
- 外文名
- Positive series
- 定 義
- 各項都是由正數組成的級數
- 重要級數
- p級數
- 收斂性判別
- 比較原則、比式判別、根式判別
- 應用學科
- 數學分析
正項級數定義
正項級數收斂性判別
部分和數列判別法
比較原則
設
和
是兩個正項級數,如果存在某正數
,使得對一切
都有
,則有:
比式判別法(達朗貝爾判別法)
設
為正項級數,且存在某正常數
及常數
。
(1)若對一切
,成立不等式
,則級數
收斂;
(2)若對一切
,成立不等式
,則級數
發散。
比式判別法的極限形式:
設
為正項級數,且
,則有:
(1)當
時,級數
收斂;
(2)當
或
時,級數
發散。
根式判別法(柯西判別法)
設
為正項級數,且存在某正常數
及正常數
。
(1)若對一切
,成立不等式
,則級數
收斂;
(2)若對一切
,成立不等式
,則級數
發散;
柯西判別法的極限形式:
設
為正項級數,且
,則:
(1)當
時,級數
收斂;
(2)當
,級數
發散。
積分判別法是利用非負函數的單調性和積分性質,並以反常積分為比較對象來判斷正項級數的斂散性。
正項級數典例
正項級數p級數
討論
級數
的收斂性,其中常數
。
解:分兩種情況討論,
(2)當
時,記
級數的部分和為:
.
當
時,取
,則有
,所以有:
從而
即有
。
正項級數例2
討論正項級數
的斂散性。
解:
(1)當
時,對一切
都有
,因此級數發散。