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正錐
鎖定
正錐是偏序羣的正元素集,若G是偏序羣,則G的正元素集G+={g∈G|g>0}及G的負元素集G-={g∈G|g>0}分別稱為G的正錐及負錐。G+滿足三個條件: 1.G++G+⊆G+;2.G+∩-G+=G+∩G-={0};3.對任意a∈G有a+G+-a⊆G+。反之,若P是羣G的子集,G的運算記為+,且P滿足條件1、2、3,對任意x,y∈G,定義x>y當且僅當x-y∈P,則由P可誘導出G的一個序,使G成為偏序羣,且P=G+,於是,一個偏序羣的序完全由滿足上述條件的子集P所確定,因此,亦稱P是G的一個序。
[1]
- 中文名
- 正錐
- 外文名
- positivecone
- 所屬學科
- 數學
- 相關概念
- 偏序羣、序關係、凸映射等
正錐基本介紹
定義 設X是一個線性空間,P足X中的一個凸錐,並且對於任意的
與
,若
,則記為
。對於這樣的P稱為X中的一個正凸錐,有時簡稱為正錐;若令
,則稱N為X中的負凸錐,簡稱為負錐。顯然,若
,則有
。
例如,在
中凸錐
正錐正錐與凸映射
很容易驗證,上述定義中的序關係,滿足以下三條性質:
1.自反性
。
2.傳遞性 若
,又
,則
。
3.對稱性 若
,又
,則
。
給定一個賦範線性空間X與一個正凸錐
,還可以在其對偶空間X*中定義一個對應的對偶正凸錐
即使P不一定是閉的,而
卻總是閉的。如果P是閉的,那麼在P與
之間有下列關係:
證明: 用反證法假設
不成立,即
,那麼根據凸集分離定理,即知存在一個閉超平面,亦即有界線性泛函
,使得對於所有的p∈P,由於P是閉的,應有
。由於P是X中的凸錐,所以
,所以特別有
,此與命題之假設不符。故必有
,即
。
命題2 設X是一個賦範線性空間,P是X中的正凸錐,若
,則對於所有非零的
,有
。
證明:由於
是P的內點,所以存在一個以
為中心,以r>o為半徑的閉球
,即當
時,有
。由於
,所以
,即
。從而根據範數的定義,有
以上,我們已經推廣了向量不等式的概念,這就有可能使我們引進關於映射的凸性定義。
定義 設X是一個線性空間,Z也是一個線性空間,在Z中具有正凸錐P。若映射
,G的定義域是Ω,Ω是X中的凸集,並且對於所有的x1,x2∈Ω以及α∈ [0,1],有