複製鏈接
請複製以下鏈接發送給好友

正錐

鎖定
正錐是偏序羣的正元素集,若G是偏序羣,則G的正元素集G+={g∈G|g>0}及G的負元素集G-={g∈G|g>0}分別稱為G的正錐及負錐。G+滿足三個條件: 1.G++G+⊆G+;2.G+∩-G+=G+∩G-={0};3.對任意a∈G有a+G+-a⊆G+。反之,若P是羣G的子集,G的運算記為+,且P滿足條件1、2、3,對任意x,y∈G,定義x>y當且僅當x-y∈P,則由P可誘導出G的一個序,使G成為偏序羣,且P=G+,於是,一個偏序羣的序完全由滿足上述條件的子集P所確定,因此,亦稱P是G的一個序。 [1] 
中文名
正錐
外文名
positivecone
所屬學科
數學
相關概念
偏序羣、序關係、凸映射等

正錐基本介紹

在給定的線性空間中,可以引進一個凸錐來規定一種序關係。這是討論線性空間中不等式關係的一個必不可少的前提。
定義 設X是一個線性空間,P足X中的一個凸錐,並且對於任意的
,若
,則記為
。對於這樣的P稱為X中的一個正凸錐,有時簡稱為正錐;若令
,則稱N為X中的負凸錐,簡稱為負錐。顯然,若
,則有
例如,在
中凸錐
它定義了En中的正卦限;又例如,在區間
上所有函數構成的線性空間中,其凸錐自然可以定義為
上的所有非負函數構成的集合。

正錐正錐與凸映射

很容易驗證,上述定義中的序關係,滿足以下三條性質:
1.自反性
2.傳遞性 若
,又
,則
3.對稱性 若
,又
,則
如果在X中定義了序關係“≥”,並且滿足上述三條公理,那麼就稱在X中用正錐P定義了偏序關係。對於偏序關係我們需注意,在X中並非任意兩個元素都是可比的,所以才稱之為偏序
賦範線性空間中,有時用閉凸錐來定義正錐具有特殊的意義。另外,如果x是正錐P的一個內點,那麼可以把它記為
。對於許多應用問題,為了能夠使用凸集分離定理,P至少要有一個內點,這是必不可少的條件。
給定一個賦範線性空間X與一個正凸錐
,還可以在其對偶空間X*中定義一個對應的對偶正凸錐
對此,
,又可以記作
即使P不一定是閉的,而
卻總是閉的。如果P是閉的,那麼在P與
之間有下列關係:
命題1 設X是一個賦範線性空間,P是X中的正凸錐,並且P是閉的。若x∈X,對於所有的
,滿足
證明: 用反證法假設
不成立,即
,那麼根據凸集分離定理,即知存在一個閉超平面,亦即有界線性泛函
,使得對於所有的p∈P,由於P是閉的,應有
。由於P是X中的凸錐,所以
,所以特別有
,此與命題之假設不符。故必有
,即
命題2 設X是一個賦範線性空間,P是X中的正凸錐,若
,則對於所有非零的
,有
證明:由於
是P的內點,所以存在一個以
為中心,以r>o為半徑的閉球
,即當
時,有
。由於
,所以
,即
。從而根據範數的定義,有
以上,我們已經推廣了向量不等式的概念,這就有可能使我們引進關於映射的凸性定義。
定義 設X是一個線性空間,Z也是一個線性空間,在Z中具有正凸錐P。若映射
,G的定義域是Ω,Ω是X中的凸集,並且對於所有的x1,x2∈Ω以及α∈ [0,1],有
則稱G是一個凸映射 [2] 
參考資料
  • 1.    《數學辭海》編輯委員會.數學辭海·第二卷:中國科學技術出版社,2002.08
  • 2.    王日爽.泛函分析與最優化理論:北京航空航天大學出版社,2003年09月第1版