正定二次型

設

，其中矩陣

是對稱陣，即

，

為列向量，若

，

，有

，則稱

為正定二次型，稱實對稱矩陣

正定。 ^[1] 

例如，

即為正定二次型，其中

，

。

（1）

階實對稱矩陣

正定

的正慣性指數等於

與單位矩陣合同

的順序主子式大於零

的特徵值大於零

的行列式大於零（但行列式大於零的矩陣不一定是正定矩陣）

（2）若

階實對稱矩陣

和

正定，

為實數，則

①

（逆）、

（伴隨矩陣）、

均正定；

②

正定

；

③

正定

判定二次型(或對稱矩陣)為正定的方法有如下兩種

對於給定的二次型

，寫出它的矩陣，根據對稱矩陣的所有順序主子式是否全大於零來判定二次型 (或對稱矩陣)的正定性。

對於給定的二次型 ，先將化為標準形，然後根據標準形中平方項係數為正的個數是否等於

來判定二次型的正定性。

通過正交變換，將二次型化為標準形後，標準形中平方項的係數就是二次型矩陣的特徵值。因此，可先求二次型矩陣的特徵值，然後根據大於零的特徵值個數是否等於

來判定二次型的正定性。 ^[2]