正則局部環

設R為諾特局部環，m是其極大理想，k=R/m為其剩餘域，若dim_km/m²=dimR，則稱R為正則局部環。 ^[2] 

設Y是

中的仿射簇，P∈Y，則Y在點P非奇，當且僅當局部環

為正則局部環。

設Y是任意簇，稱Y在點P非奇，若局部環

為正則局部環。 ^[3] 

正則局部環是局部環的子類，有正則參數系的局部環(R,m)稱為正則局部環，即m可由dimR個元素生成。

[regular ring]

設(R,m)是一個諾特局部環。假設R的維數為d，則m的生成元組所含元素的個數至少為d。如果m可以有d個元素生成，則稱 R 是正則局部環（regular local ring），此時，m的由d個元素組成的生成元組稱為是R的正則參數系（regular system of parameters）。

對一般的諾特環R，如果對任意素理想p，

都是正則局部環，則稱R是正則環。

正則環一定是科恩-麥考萊的。正則環也一定是正規的。

例如，設F是域，則

是正則環。

[local ring]

設R是一個環，如果R含有唯一的極大理想m，則稱R是局部環，記為(R,m)，有時也記為(R,m,k)，其中k=R/m是一個域。

注意到，若(R,m)是局部環，則m恰由R的所有非可逆元組成。

設𝖕是R的一個素理想，則R𝔭是局部環。

如果R含有有限多個極大理想，則稱R是一個半局部環（semi-local ring）。 ^[1]