次協調邏輯

在標準邏輯中從矛盾中可以推導出任何東西, 這叫做爆炸原理( ECQ)。次協調邏輯 ^[1]  就是 ECQ 不成立的邏輯系統。 次協調邏輯是嘗試處理矛盾的邏輯的非平凡的(non-trivial)邏輯，它允許斷言一個陳述和它的否定，而不導致謬論。 可以用來建模有矛盾的信仰系統。 但不是任何東西都能從它推導出來的。 在標準邏輯中必須小心的防止形成説謊者悖論的陳述。次協調邏輯中，由於不需要排除這種陳述，而更加簡單。

次協調邏輯可以潛在的克服哥德爾不完備定理藴涵的算術限制，是完備的。

但是，次協調邏輯仍然必須排除柯里悖論(Curry's paradox)。 ^[2]  柯里悖論是由美國數理邏輯學家哈斯凱爾·布魯克·柯里（Haskell Brooks Curry）提出。關於柯里悖論的討論強調，因為其本質上不涉及否定, 它與羅素悖論和説謊者悖論有實質性不同。 一些具有弱否定原理的非經典邏輯(如次協調邏輯)， 可以解決羅素悖論和説謊者悖論，但仍然容易受到柯里悖論的影響。 ^[2] 

次協調邏輯分別於1954年和1963年在南美由弗洛倫西奧·阿森霍（Florencio Asenjo）尤其是牛頓·達·科斯塔（Newton da Costa）在其博士學位論文中分別於1954年和1963年在南美獨立提出，並着重於數學應用。 從那時起，活躍的邏輯學家小組就一直在不斷研究次協調邏輯，尤其是在巴西的坎皮納斯和聖保羅，其重點放在形式化的次協調邏輯。

次協調邏輯以相干邏輯（也稱相關邏輯）形式於1959年在英格蘭由Smiley提出。 大約在同一時間，安德森（Anderson）和貝爾納普（Bernap）在美國提出了一種更為發達的形式。 一羣活躍的相干邏輯學家在匹茲堡長大，包括鄧恩和邁耶。次協調邏輯的發展（以相干邏輯的形式）被運到澳大利亞。 R. Routley（後來的Sylvan）和V.Routley（後來的Plumwood）發現了一些Anderson / Belnap相干邏輯的有意語義。

自1970年代以來，次協調邏輯的發展一直是國際性的。在阿根廷，澳大利亞，比利時，巴西，加拿大，捷克共和國，英國，德國，印度，以色列，日本，墨西哥，新西蘭，波蘭，蘇格蘭，西班牙，美國, 中國等地，都有正在開展的工作。已經召開了一系列有關次協調的大型國際會議。1997年，第一屆世界次協調大會在比利時根特大學舉行。第二屆世界大會於2000年在聖塞巴斯蒂昂（巴西聖保羅）舉行，第三屆於2003年在法國圖盧茲舉行，第三屆於2008年在墨爾本（澳大利亞）舉行。第五屆世界大會於2013年在印度加爾各答舉行。2014年另一個重要的次協調會議在慕尼黑舉行。

中國學者對次協調邏輯也有不少研究，特別是在辯證法形式化的領域, ^[3]  並且出版了這方面的書籍， 比如，桂起權，陳立直，朱福喜的著作《次協調邏輯與人工智能》。

發明次協調邏輯有很多動機， 它們都引起對經典邏輯的會導致反直覺結果的協調性(一致性)的不滿足。

不一致的（矛盾的）信息存在於， 信仰，道德，辯證法， 人工智能，形式語義學， 集合論， 算法，和哥德爾不完備定理等領域 ^[1]  ，發明次協調邏輯的主要動機是堅信，應該有可能以受控和區分的方式，對這些含不一致的信息的系統進行推理。爆炸原理排除了這一點，因此必須放棄。

語義悖論，特別是自引用，提供了質問經典邏輯的形式根據。考慮説謊者悖論(這裏的 "" 表示 "L 這個命題"):

(L) 不是真的。

把 L 塞入自身，我們得到

" 不是真的" 不是真的

看起來它説的事情同於

(L' ) L 是真的

(這種推理基於幾個相當似是而非的但公認不是無懈可擊的前提，關於雙重否定除去的和在和 P 之間聯繫--就是説在命題和命題所對應的事態之間的聯繫。粗略的説，我們稱這種關係為"真理"，所以我們能夠在某種意義上，移入和移出引號和標記命題的括號)。 並且，如果我們繼續運做在關於真理本質的無可置疑的質樸假定之上，則 L 看起來是 L' 的否定。所以，這是一個矛盾。(集合論和高階邏輯的羅素悖論緣於類似的問題。)

經典邏輯(或者更一般的説協調邏輯)的堅定支持者可以簡單的忽略這種問題，或者簡單的説像 L 這樣的句子是無意義的。可以理解的，次協調邏輯學家機警的接受了這些句子；畢竟，"這個句子是假的" 好像是完全連貫的甚至發人深省的句子。接受遵照像 L 這樣的句子和它的外在否定 L' 同樣是真理的立場，是擺脱這種語義悖論的一種可能方式。

少些形式化的説，你可以認為我們的實際推理是次協調的。次協調邏輯雙面真理論的支持者 Graham Priest，提供了一個例子，站在門口的一個人精確的一半在門裏一半在門外。如何在他的談話 "我在屋裏" 和它的否定的 "我不在屋裏" 中做出選擇(1998)? 我們允許二者都是真的不是完全怪異的解決方法。

集合論和高階邏輯的羅素悖論也給出了不一致(次協調)的信息的系統。

在經典邏輯中,如果對於某些句子P,Λ╞P並且Λ╞¬P,也就是在任何句子都可以從否定矛盾集合中推導出來。類似的模型理論性質對經典邏輯是成立的， 這叫做爆炸原理(英文：Principle of Explosion; 拉丁文：contradictione quodlibet contradictione quodlibet；常用的拉丁文縮寫ECQ來代表;)。 因為一個單一的矛盾就確保推理可以在任何任意方向上進行， 所以稱做爆炸原理。爆炸原理説明了經典邏輯系統中無矛盾律的正當性。

經典邏輯、直覺邏輯和多數其他邏輯遭受着這個問題，無法為有矛盾的系統（次協調系統），如信仰，道德，辯證法，等建立邏輯推理模型。開發次協調邏輯是為了避免爆炸原理的有害效果。

為了解決這個問題，次協調邏輯可以簡單的拒絕爆炸原理。當然，這麼做可不是平凡的事情。爆炸是我們析取的真值泛函概念的直接推論；要拒絕前者必然把問題帶給後者，而它好像是良基的(well-founded)。

斯坦福哲學百科全書次協調邏輯條目中介紹了幾個已經研究和提出的次協調邏輯系統 ^[1]  ， 簡單摘要如下。

波蘭邏輯學家雅斯考斯基(Jaśkowski) (1948)提出了第一個形式化的次協調邏輯，該邏輯是討論性(或論述性)邏輯。 討論邏輯背後的思想是，在一個討論中，每個參與者都提出一些信息，信念或觀點。 根據參與者的論述，每個斷言都是正確的。 但是，從整體上講，正確的是參與者提出的主張之和。 每個參與者的觀點可能是無矛盾的，但可能與其他人的觀點不一致。 雅羅斯科夫斯基以討論邏輯的方式形式化了這個想法。

合取介入 {A,B}⊭A∧B 是命題邏輯的一個推理規則。非合取介入系統是排除了合取介入 推理規則的系統。 如上所述，沒有討論性連詞的討論性邏輯是非附加的。

Rescher和Manor(1970)提出了另一種非合取介入策略。 實際上，我們可以合併前提(conjoin premises)，但只能達到最大協調性(maximal consistency)。並且定義一個新的邏輯關係稱為“結果關係”(consequence relation)。 具體地，如果∑是前提的集合，則最大協調子集是任何協調子集∑'，使得： 如果A∈∑-∑'，則∑'∪ {A}不協調。 那麼我們説A是Σ的結果，當且僅當對於某些最大協調子集Σ' A是Σ'的經典結果。 然後 {p，q}⊨p∧q 但{p，¬p}⊭p∧p。

是在上面非合取介入系統和其結果關係的進一步括展。

人們可能不僅認為需要隔離不一致之處，而且要考慮到只是在極少數的情況下需要考慮不協調之處。 這種想法可能是，協調性是常態；除非發現了不協調性：我們應該儘可能協調地對待句子或理論。 這本質上是比利時Diderik Batens率先提出的自適應邏輯的動機。