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橢圓面積公式
鎖定
- 中文名
- 橢圓面積公式
- 外文名
- Ellipse area formula
- 別 名
- 橢圓形面積公式
- 表達式
- S=π×a×b
- 適用領域
- 幾何數學領域
- 應用學科
- 數學
橢圓面積公式面積公式
橢圓面積公式定理內容
如果一條固定直線被甲乙兩個封閉圖形所截得的線段比都為k，那麼甲面積是乙面積的k倍。
那麼橢圓
的面積為πab
因為兩軸焦點在0點，所以橢圓的面積可以分為4個相等的部分，分別是+x+y、-x+y、-x-y、+x-y四個區域，所以只要求出一個象限間所夾的面積，然後再乘以4就可以得到整個橢圓的面積。揀最簡單的來吧，先求第一象限所夾部分的面積。 根據定積分的定義及圖形的性質，我們可以把這部分圖形無限分為底邊在x軸上的小矩形，整個圖形的面積就等於這些小矩形面積和的極限。現在應用元素法，在圖 形中任找取一點，然後再取距這點距離無限近的另一個點，這兩點間的距離記做dx，然後取以dx為底邊，兩點分別對應的y為高，與曲線相交夠成的封閉的小矩 形的面積s，顯然，s=y*dx 現在求s的定積分，即大圖形的面積S，S=∫[0:a]ydx 意思是求0 到 a上y關於x的定積分 步驟：（第一象限全取正，後面不做説明） S=∫[0:a]ydx=∫[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx 設 x^2/a^2=sin^2t 則 ∫[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx=∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint) pi=圓周率 ∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint)=∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt cos^2t=1-sin^2t ∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t dt 這裏需要用到一個公式：∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[0:pi/2]f(cosx)dx 證明如下 sinx=cos(pi/2-x) 設u=pi/2-x 則 ∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[pi/2:0]f(cosu)d(pi/2-u)= -∫[0:pi/2]f(sinu)d(pi/2-u)=∫[0:pi/2]f(sinu)du=∫[0:pi/2]f(sinx)dx 則∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t dt=a*b*（pi/2）-∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt 那麼 2*∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt=a*b*（pi/2） 則S=a*b*(pi/4) 橢圓面積S_c=a*b*pi 可見橢圓面積與座標無關，所以無論橢圓位於座標系的哪個位置，其面積都等於半長軸長乘以半短軸長乘以圓周率
橢圓面積公式
橢圓面積公式
橢圓面積公式導數方法
設橢圓
取第一象限內面積 有
即
由於該式反導數為所求面積，觀察到原式為圓方程公式*b/a，根據(af(x))'=a*f'(x),且x=a時圓面積為a^2π/4
可得 當x=a時，1/4S=b/a*1/4*a^2*π=abπ/4
即S=abπ。
此方法比較容易理解。
