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模運算

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“模”是“Mod”的音譯，模運算多應用於程序編寫中。 Mod的含義為求餘。模運算在數論和程序設計中都有着廣泛的應用，從奇偶數的判別到素數的判別，從模冪運算到最大公約數的求法，從孫子問題到凱撒密碼問題，無不充斥着模運算的身影。雖然很多數論教材上對模運算都有一定的介紹，但多數都是以純理論為主，對於模運算在程序設計中的應用涉及不多。
中文名
模運算
外文名
Mod
概    述
計算機編寫程序
領    域
數論和程序設計
類    型
以純理論為主
公    式
A Mod B=A-(AdivB) * B

目錄

  1. 1 舉例
  2. 2 概念及性質
  3. ▪ 基本概念
  1. ▪ 基本性質
  2. ▪ 運算規則
  3. 3 基本應用
  1. ▪ 判別奇偶數
  2. ▪ 判別素數

模運算舉例

11 Mod 2，值為1
上述模運算多用於程序編寫，舉一例來説明模運算的原理：
Turbo Pascal對mod的解釋是這樣的：
A Mod B=A-(AdivB) * B （div含義為取整） [1] 

模運算概念及性質

本文以c++語言為載體，對基本的模運算應用進行了分析和程序設計，以理論和實際相結合的方法向大家介紹模運算的基本應用。

模運算基本概念

給定一個正整數
，任意一個整數
，一定存在等式
；
其中
、
是整數，且
，稱
為
除以
的商，
為
除以
的餘數。
對於正整數和整數
,
，定義如下運算：
取模運算：a % p（或a mod p），表示a除以p的餘數。
模p加法：(a + b) % p ，其結果是a+b算術和除以p的餘數，也就是説，(a+b) = kp +r，則(a + b) % p = r。
模p減法：(a-b) % p ，其結果是a-b算術差除以p的餘數。
模p乘法：(a * b) % p，其結果是 a * b算術乘法除以p的餘數。
説明：
1.同餘式：正整數a，b對p取模，它們的餘數相同，記做 a ≡ b % p或者a ≡ b (mod p)。
2. n % p得到結果的正負由被除數n決定,與p無關。例如：7 % 4 = 3， -7 % 4 = -3， 7 % -4 = 3， -7 % -4 = -3(在java、C/C++中%是取餘，例中的%按取餘處理。在python是模運算：-7 % 4 = 1， 7 % -4 = -1， 結果的正負僅與除數有關)。

模運算基本性質

（1）若p=a-b，則a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7)， 18 ≡ 4(% 7)
（2）(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)
（3）對稱性：a≡b (% p)等價於b≡a (% p)
（4）傳遞性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，則a≡c (% p)

模運算運算規則

模運算與基本四則運算有些相似，但是除法例外。其規則如下：
(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）
(a - b) % p = (a % p - b % p ) % p （2）
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）
(a^b) % p = ((a % p)^b) % p （4）
結合律：
((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）
((a*b) % p * c)% p = (a *(b*c)%p) % p （6）
交換律：
(a + b) % p = (b+a) % p （7）
(a * b) % p = (b * a) % p （8）
分配律：
((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （9）
重要定理：
若a≡b (% p)，則對於任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（10）
若a≡b (% p)，則對於任意的正整數c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（11）
若a≡b (% p)，c≡d (% p)，則 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，
(a * c) ≡ (b * d) (%p)； （12）

模運算基本應用

模運算判別奇偶數

奇偶數的判別是模運算最基本的應用，也非常簡單。已知一個整數n對2取模，如果餘數為0，則表示n為偶數，否則n為奇數。
C++實現功能函數：
/*
函數名：IsEven
函數功能：判別整數n的奇偶性。能被2整除為偶數，否則為奇數
輸入值：int n，整數n
返回值：bool，若整數n是偶數，返回true，否則返回false
*/
bool IsEven(int n) {
    return !(n%2);
}

模運算判別素數

一個數，如果只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫做質數（或素數）。例如 2，3，5，7 是質數，而 4，6，8，9 則不是，後者稱為合成數或合數。
判斷某個自然數是否是素數最常用的方法就是試除法：用比該自然數的平方根小的正整數去除這個自然數，若該自然數能被整除，則説明其非素數。
C++實現功能函數：
/*函數名：IsPrime函數功能：判別自然數n是否為素數。
輸入值：int n，自然數n
返回值：bool，若自然數n是素數，返回true，否則返回false
*/
#include<math.h>
bool IsPrime(unsigned n){
  	unsigned maxFactor = sqrt(n); //n的最大因子
	for (unsigned i = 2 ; i <= maxFactor ; i++){
		if (!(n % i))
			return false;//n能被i整除，則説明n非素數
		return true;
}
最大公約數
求最大公約數最常見的方法是歐幾里德算法（又稱輾轉相除法），其計算原理依賴於定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
證明：a可以表示成a = kb + r，則r = a mod b
假設d是a,b的一個公約數，則有d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公約數
假設d 是(b,a mod b)的公約數，則d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公約數
因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數是一樣的，其最大公約數也必然相等，得證。
C++實現功能函數：
/*函數功能：利用歐幾里德算法，採用遞歸方式，求兩個自然數的最大公約數
函數名：Gcd
輸入值：
unsigned int a，自然數a
unsigned int b，自然數b
返回值：unsigned int，兩個自然數的最大公約數*/
unsigned Gcd(unsigned a , unsigned b){
  if (b)
    return Gcd(b , a % b);
  return a;
}
/*函數功能：利用歐幾里德算法，採用迭代方式，求兩個自然數的最大公約數
函數名：Gcd
輸入值：
unsigned int a，自然數a
unsigned int b，自然數b
返回值：unsigned int，兩個自然數的最大公約數*/
unsigned Gcd(unsigned a , unsigned b){
  unsigned temp;
  while (b){
    temp = a % b;
    a = b;b = temp;
  }
  return a;
}
模冪運算
利用模運算的運算規則，我們可以使某些計算得到簡化。例如，我們想知道3333^5555的末位是什麼。很明顯不可能直接把3333^5555的結果計算出來，那樣太大了。但我們想要確定的是3333^5555（%10），所以問題就簡化了。
根據運算規則（4）a^b% p = ((a % p)^b) % p ，我們知道3333^5555（%10）= 3^5555（%10）。由於3^4 = 81，所以3^4（%10）= 1。
根據運算規則（3） (a * b) % p = (a % p * b % p) % p ，由於5555 = 4 * 1388 + 3，我們得到3^5555（%10）=（3^(4*1388) * 3^3）（%10）=（（3^(4*1388)（%10）* 3^3（%10））（%10）
=（1 * 7）（%10）= 7。
計算完畢。
利用這些規則我們可以有效地計算X^N(% P)。簡單的算法是將result初始化為1，然後重複將result乘以X，每次乘法之後應用%運算符（這樣使得result的值變小，以免溢出），執行N次相乘後，result就是我們要找的答案。
這樣對於較小的N值來説，實現是合理的，但是當N的值很大時，需要計算很長時間，是不切實際的。下面的結論可以得到一種更好的算法。
如果N是偶數，那麼X^N =（X*X）^[N/2]；
如果N是奇數，那麼X^N = X*X^(N-1) = X *（X*X）^[N/2]；
其中[N]是指小於或等於N的最大整數。
C++實現功能函數：
/*函數功能：利用模運算規則，採用遞歸方式，計算X^N(% P)
函數名：PowerMod
輸入值：
unsigned int x，底數x
unsigned int n，指數n
unsigned int p，模p
返回值：unsigned int，X^N(% P)的結果*/
unsigned PowerMod(unsigned x , unsigned n , unsigned p){
if (!n)return 1;
unsigned temp = PowerMod((x * x) % p , n >> 1 , p); //遞歸計算（X*X）^[N/2]
if (n & 1) //判斷n的奇偶性
temp = (temp * x) % p;
return temp;
}
孫子問題(中國剩餘定理)
在我國古代算書《孫子算經》中有這樣一個問題：
“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？”意思是，“一個數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2.求適合這個條件的最小數。”
這個問題稱為“孫子問題”。關於孫子問題的一般解法，國際上稱為“中國剩餘定理”。
我國古代學者早就研究過這個問題。例如我國明朝數學家程大位在他著的《算法統宗》（1593年）中就用四句很通俗的口訣暗示了此題的解法：
三人同行七十稀，五樹梅花廿一支，七子團圓正半月，除百零五便得知。
"正半月"暗指15。"除百零五"的原意是，當所得的數比105大時，就105、105地往下減，使之小於105；這相當於用105去除，求出餘數。
這四句口訣暗示的意思是：當除數分別是3、5、7時，用70乘以用3除的餘數，用21乘以用5除的餘數，用15乘以用7除的餘數，然後把這三個乘積相加。加得的結果如果比105大，就除以105，所得的餘數就是滿足題目要求的最小正整數解。
根據剩餘定理，可以把此種解法推廣到有n(n為自然數）個除數對應n個餘數，求最小被除數的情況。輸入n個除數（除數不能互相整除）和對應的餘數，計算機將輸出最小被除數。
C++實現功能函數：
/*函數名：ResidueTheorem
函數功能：運用剩餘定理，解決推廣了的孫子問題。通過給定n個除數（除數不能互相整除）和對應的餘數，返回最小被除數
輸入值：
unsigned int devisor[]，存儲了n個除數的數組
unsigned int remainder[]，存儲了n個餘數的數組
int length，數組的長度
返回值：
unsigned int， 最小被除數*/
unsigned ResidueTheorem(const unsigned devisor[] , const unsigned remainder[] , int length){
unsigned product = 1; //所有除數之乘積
for (int i=0 ; i<length ; i++)//計算所有除數之乘積
product *= devisor[i];//公倍數數組，表示除該元素（除數）之外其他除數的公倍數
unsigned int *commonMultiple = new unsigned int(length);
for (int i=0 ; i<length ; i++)//計算除該元素（除數）之外其他除數的公倍數
commonMultiple[i] = product / devisor[i];
unsigned dividend = 0; //被除數，就是函數要返回的值
for (int i=0 ; i<length ; i++)//計算被除數，但此時得到的不是最小被除數
{
unsigned tempMul = commonMultiple[i];//按照剩餘理論計算合適的公倍數，使得tempMul % devisor[i] == 1
while (tempMul % devisor[i] != 1)
tempMul += commonMultiple[i];
dividend += tempMul * remainder[i]; //用本除數得到的餘數乘以其他除數的公倍數
}
delete []commonMultiple;
return (dividend % product); //返回最小被除數}凱撒密碼
}
凱撒密碼（caeser）是羅馬擴張時期朱利斯o凱撒（Julius Caesar）創造的，用於加密通過信使傳遞的作戰命令。
它將字母表中的字母移動一定位置而實現加密。注意26個字母循環使用，z的後面可以看成是a。
例如，當密匙為k = 3，即向後移動3位時，若明文為”How are you!”，則密文為”Krz duh btx!”。
凱撒密碼的加密算法極其簡單。其加密過程如下：
在這裏，可以做一約定：明文記為m，密文記為c，加密變換記為E(key1,m)（其中key1為密鑰），
解密變換記為D(key2,m)（key2為解密密鑰）（在這裏key1=key2,不妨記為key）。
凱撒密碼的加密過程可記為如下一個變換：c≡m+key (mod n） （其中n為基本字符個數）
同樣，解密過程可表示為：m≡c+key (mod n） （其中n為基本字符個數）
C++實現功能函數：
/*函數功能：使用凱撒密碼原理，對明文進行加密，返回密文
函數名：Encrypt
輸入值：
const char proclaimedInWriting[]，存儲了明文的字符串
char cryptograph[]，用來存儲密文的字符串
int keyey，加密密匙，正數表示後移，負數表示前移
返回值：無返回值，但是要將新的密文字符串返回*/
#include<string.h>
void Encrypt(const char proclaimedInWriting[] , char cryptograph[] , int key){
const int NUM = 26; //字母個數
int len = strlen(proclaimedInWriting);
for (int i=0 ; i<len ; i++){
if (proclaimedInWriting[i] >= 'a' && proclaimedInWriting[i] <= 'z')//明碼是大寫字母，則密碼也為大寫字母
cryptograph[i] = (proclaimedInWriting[i] - 'a' + key) % NUM + 'a';
else if (proclaimedInWriting[i] >= 'A' && proclaimedInWriting[i] <= 'Z')//明碼是小寫字母，則密碼也為小寫字母
cryptograph[i] = (proclaimedInWriting[i] - 'A' + key) % NUM + 'A';
else//明碼不是字母，則密碼與明碼相同
cryptograph[i] = proclaimedInWriting[i];
}
cryptograph[len] = '\0';
}
/*函數功能：使用凱撒密碼原理，對密文進行解密，返回明文
函數名：Decode
輸入值：
char proclaimedInWriting[]，用來存儲明文的字符串
const char cryptograph[]，存儲了密文的字符串
int keyey，解密密匙，正數表示前移，負數表示後移（與加密相反）
返回值：無返回值，但是要將新的明文字符串返回*/
#include<string.h>
void Decode(const char cryptograph[] , char proclaimedInWriting[] , int key){
const int NUM = 26; //字母個數
int len = strlen(cryptograph);
for (int i=0 ; i<len ; i++){
if (cryptograph[i] >= 'a' && cryptograph[i] <= 'z')//密碼是大寫字母，則明碼也為大寫字母，為防止出現負數，轉換時要加個NUM
proclaimedInWriting[i] = (cryptograph[i] - 'a' - key + NUM) % NUM + 'a';
else if (cryptograph[i] >= 'A' && cryptograph[i] <= 'Z')//密碼是小寫字母，則明碼也為小寫字母
proclaimedInWriting[i] = (cryptograph[i] - 'A' - key + NUM) % NUM + 'A';
else//密碼不是字母，則明碼與密碼相同
proclaimedInWriting[i] = cryptograph[i];
}
proclaimedInWriting[len] = '\0';
}
總結
模運算及其簡單應用差不多就這麼多了，其實模運算在數學及計算機領域的應用非常廣泛，這些只是一些最最基本的情形，希望能夠起到一個拋磚引玉的作用，讓更多的人關注模運算，並及其應用到更廣闊的領域中。
參考資料