柯西分佈

柯西分佈也叫作柯西一洛倫茲分佈，它是以奧古斯丁-路易-柯西與亨德里克-洛倫茲名字命名的連續概率分佈，如概述圖所示。其概率密度函數為

式中：

為定義分佈峯值位置的位置參數；

為最大值一半處的一半寬度的尺度參數。

作為概率分佈，通常稱為柯西分佈，物理學家也將之稱為洛倫茲分佈或者Breit-Wigner分佈。在物理學中的重要性很大一部分歸因於它是描述受迫共振的微分方程的解。在光譜學中，它描述了被共振或者其他機制加寬的譜線形狀。記隨機變量

服從柯西分佈為

。

的特例稱為標準柯西分佈，其概率密度函數為

其對應的累積分佈函數為

柯西分佈具有如下特點：

(1)數學期望

不存在，即

(2)方差

不存在。

(3)高階矩均不存在。

(4)柯西分佈具有可加性，即

設

獨立同分布，且

，則

.

(5)柯西分佈具有倒數性質，即：

設

，則

(6)柯西分佈與正態分佈：

設

獨立，且都服從

，則

(7)柯西分佈與均勻分佈：

設

，則

(8)柯西分佈與

分佈：

設

服從標準柯西分佈即

時，則正好是自由度為1的

分佈。

而對於實隨機變量

，如果其概率密度函數為

則定義

服從參數為

的廣義柯西分佈。參數

是大於0.5的實數，是歸一化常數。 ^[1] 

可以證明廣義柯西分佈具有以下性質：

(1)廣義柯西分佈不存在一階矩；當

時，廣義柯西分佈不存在二階矩。

(2)當m=1時，廣義柯西分佈即是常規定義下的柯西分佈。對比柯西分佈可知，

(3)廣義柯西分佈不同於下列分佈，即

但當m為整數時兩者相等。

(4)在所有的分佈中，廣義柯西分佈具有最大的散佈特性，即廣義柯西分佈具有最大的拖尾概率。 ^[1]