本原元

本原元是有限域乘法特性的主要表現。 ^[2] 

與循環羣類似，記域元素

的冪為

定義1 非零域元素

的階

是其冪為單位元的最小冪指數，即

定義2 稱具有最大階的域元素為本原元，即對本原元

，有 ^[2] 

注意到域元素的階實際上就是域的乘法羣的羣元素的階，所以容易得到以下域元素的性質：

(1)GF(q)中的任意非零元素均可表示為本原元

的冪。因為由乘法的封閉性及本原元的定義，必有

，所以

(2)(本原元的計數定理)GF(q)中有

個本原元，這裏

為歐拉函數，其值為小於n且與n互素的非零正整數的個數，即

因為由域的定義，有限域的非零元素集合對域乘法形成一個有限交換羣，而有限交換羣一定是循環羣，所以

中存在生成元

，使得

，從而循環羣

中生成元的個數

就是

中本原元的個數。

特徵為零的域F的任何有限擴域K包含本原元。 ^[1] 

注：這個命題當F是有限域的時候也是成立的，只是證明不同。對於特徵

的無限域，定理需要更多的假設條件，因為我們不研究這樣的域，因此不考慮這種情況。

由於擴域K/F是有限擴域，故K由有限集合生成，例如K作為F-向量空間的一組基就在F上生成K，設

，我們對於k應用歸納法，當

，無需證明，假設k>l，歸納假設定理對於域

成立，該域

由前k一1個元素

生成，故我們可以假設

由單個元素

生成，所以K由兩個元素

和

生成，定理的證明於是簡化為K由兩個元素生成的情形，下面的引理解決這種情形。

引理 令F是特徵為零的域，令K是由兩個元素

和

在F上生成的擴域，除去F中有限多個c之外，

是K在F上的本原元。 ^[1] 

在比較大的域中，需要一個系統的方法來尋找本原元，下面給出一個尋找任意有限域中本原元的高斯算法。

在此算法中我們需要依次處理域元素序列

，其中

，

，實際上，對於

，有

高斯算法：

第一步：設i=1，取域F中的任意一個非零元

，且記

；

第二步：若

，則算法停止，

即為所尋找的本原元，否則轉第三步；

第三步：在域F中選一個非

的冪次的非零元

，設

，若s=q一1，則令

，算法停止；否則轉第四步。

第四步：尋找

的一個因子d，s的一個因子e，使得

且

，設

，

值加1，返回第二步。 ^[3]