曲面纖維化

設S是光滑代數曲面，C是光滑代數曲線.

如果存在一個全純的滿態射 f:S→C,那麼就稱S有一個到的C纖維化。

C上每一點在f下的原像都稱為f的纖維，通常用F表示。F顯然是一條代數曲線。 任何兩條纖維都不相交，並且數值等價－－這就是所謂的Zariski引理的特殊情形。

如果一條纖維F不是光滑的既約曲線，就稱為奇異纖維，它在f下的像稱為C上的臨界點。 顯見C上的臨界點至多隻有有限個。 換句話説，f的大多數纖維是光滑曲線；由Zariski引理，它們的虧格是相同的，記為g. 這個數值不變量g被稱為纖維f的虧格。

奇異纖維包含了大量的信息，是我們最感興趣的對象。 如果f:S→C的所有纖維都光滑，那麼就稱f是Kodaira(小平邦彥，日本數學家，菲爾茲獎得主)纖維化。

纖維化的虧格是研究的一個主要依據。 g=0時就稱f為直紋面；g=1稱為橢圓纖維；g=2是最簡單的超橢圓纖維化，這方面Horikawa(崛川寅二，日本數學家)和肖剛等人做了大量傑出的工作。

對高虧格以及高維數的纖維化，仍然有許多東西值得挖掘。 許多數學家都在從事這一研究，比如肖剛、 談勝利，陳志傑，Catanese, Viehweg, 左康，Ashikaga,Konno...