數學哲學

成為一名優秀的數學教師，是每一位有責任心和事業心的數學教師的神聖使命。推動中國數學教育實踐的良性發展，提高中國數學教育的質量，是每一位中國數學教育工作者的匹夫之責。現在的課程內容涉及的知識面廣，難以全面掌握、深刻理解，使得廣大的中學數學教師正面臨着前所未有的危機與挑戰。 ^[1] 

張景中，計算機科學家、數學家，1936年12月30日生於河南。1959年畢業於北京大學數學力學系。中國科學院成都計算機應用研究所研究員、名譽所長，廣州師範學院教育軟件研究所所長。1995年當選為中國科學院院士。提出和實現了定理機器證明的數值並行方法。把多年來在教育數學研究中所發展的幾何新方法用於機器證明，並提出消點思想，創建了幾何定理可讀證明自動生成的原理和方法。用這個方法可在微機上快速地進行幾何證明，計算和發明新定理，並給出易於理解的有幾何意義的證明。發展了非線性振動技術。發展了幾何算法的研究，解決了初等圖形在歐氏空間嵌入等問題。開拓教育數學的研究，提出以面積為中心的幾何教材新體系新方法極限概念的非e語言和連續歸納法將自動推理的成果和方法用於ICAI的研究，主持開發了新型智能理科教育軟件。 ^[2] 

彭翕成，華中師範大學國家數字化學習工程技術研究中心助理工程師。立志於從事數學文化傳播和數學教育技術的普及。發表論文百餘篇，出版著作多部。 ^[3] 

第1章 “萬物皆數”觀點的破滅與再生——第一次數學危機與實數理論/1

1.1 畢達哥拉斯學派的信條——萬物皆數

1.2 第一個無理數

1.3 無理數之謎

1.4 連續性的奧秘

1.5 戴德金分割

1.6 連續歸納原理

1.7 “萬物皆數”的再生

1.8 勾股定理的多種證明

1.9 無理數與第一次數學危機

1.10 中國古代文化中的“萬物皆數”

1.11 一分為二和一分為三

第2章 哪種幾何才是真的——非歐幾何與現代數學的“公理”/19

2.1 歐幾里得的公理方法

2.2 歐幾里得的幾何定理是真理嗎

2.3 非歐幾何的發現

2.4 哪一個是真的

2.5 公理是什麼

2.6 古今由圓外－點向圓作切線的不同

2.7 定義的多樣性和侷限性

第3章 變量·無窮小·量的鬼魂——第二次數學危機與極限概念/32

3.1 數學怎麼描述運動與變化

3.2 瞬時速度

3.3 微分是量的鬼魂嗎

3.4 無窮小量的再生

3.5 不用極限的微積分

第4章 自然數有多少——數學中的“實在無窮”概念/50

4.1 伽利略的困惑

4.2 康託，闖入無窮王國的先鋒

4.3 希爾伯特的“無窮旅店

4.4 所有的無窮都一樣嗎

4.5 自然數究竟有多少

4.6 有理數的自白

4.7 素數無窮的不同表述

4.8 數學的嚴格

第5章 羅素悖論引起的軒然大波——第三次數學危機/67

5.1 邏輯－集合一數

5.2 羅素悖論

5.3 集合的層次理論

5.4 集合論的公理化

5.5 連續統假設

5.6 地平線仍在前方

5.7 悖論與危機

第6章 數是什麼——對數學對象本質的幾種看法/79

6.1 1是什麼

6.2 柏拉圖主義——數存在於理念世界

6.3 唯名論觀點——數是紙上的符號或頭腦中特定的概念

6.4 康德：數是思維創造的抽象實體

6.5 約定論的觀點——數學規則不過是人的約定

6.6 邏輯主義——算術是邏輯的一部分

6.7 直覺主義——數學概念是自主的智力活動

6.8 形式主義——把數學化為關於有限符號排列的操作

6.9 爭論與統一

6.10 存在與構造

6.11 0.9=1嗎

第7章 是真的，但又不能證明——哥德爾定理/98

7.1 哥德爾定理

7.2 説謊者悖論與理查德悖論

7.3 算術有多少種

7.4 數學的力量與侷限

7.5 數學的侷限與加密

7.6 數學的侷限與博弈

第8章 數學與結構——布爾巴基學派的觀點/109

8.1 在邏輯長鏈的背後

8.2 形形色色的加法

8.3 基本的結構

8.4 分析與綜合的藝術

8.5 布爾巴基學派和新數運動

第9章 命運決定還是意志自由——必然性與偶然性的數學思考/125

9.1 兩種對立的哲學觀點

9.2 從偶然產生必然

9.3 從必然產生偶然

9.4 一場風暴或－口痰能影響民族的命運嗎

9.5 什麼叫必然?什麼叫偶然

9.6 抽屜原理

9.7 五百年必有王者興

第10章 舉例子能證明幾何定理嗎——演繹與歸納的對立與統一/143

10.1 例證法——用演繹支持歸納

10.2 幾何定理也能用例子證明

10.3 進一步的思考

10.4 驗證三角形內角和定理

10.5 精確數學和近似數學

10.6 例證法與動態幾何

第11章 計算機正在改變數學/155

11.1 四色定理的機器證明

11.2 計算機證明的定理可靠嗎

11.3 數學和計算機共同發展

11.4 《九章算術》的算法思想

11.5 幾何信息搜索系統簡介

11.6 機器證明軟件簡介

第12章 數學與哲學隨想/174

12.1 數學的領域在擴大，哲學的地盤在縮小

12.2 數學始終在影響着哲學

12.3 抽象與具體

12.4 涉及具體問題時，語言必須精確嚴格

12.5 個別與一般

12.6 事物與概念

12.7 “我不需要這個假設

12.8 證實與證偽

12.9 數學世界是人的創造，但它是客觀的

12.10 事物的總體性

12.11 變化中的不變

12.12 預言

12.13 “沒有兩件事物完全一樣”

12.14 物極必反

12.15 論懷疑

12.16 量變與質變

12.17 羅素與“事素”

參考文獻/201 ^[1] 

成為一名優秀的數學教師，是每一位有責任心和事業心的數學教師的神聖使命。推動中國數學教育實踐的良性發展，提高中國數學教育的質量，是每一位中國數學教育工作者的匹夫之責。

數學教育是數學的教育，數學教師需要有良好的數學素養。20世紀後半葉及21世紀初科學技術的迅猛發展，對大、中、小學數學教育提出了越來越高的要求，數學課程改革需要不斷應對時代的挑戰。將一些現代數學的內容以及思想方法（譬如，微積分、向量、算法、編碼、統計、羣等）引進中學數學課程，已是大勢所趨。相比以往，正在實施中的數學新課程，內容變化較大，許多選修課的內容甚至連教師都沒有學過。現在的課程內容涉及的知識面廣，難以全面掌握、深刻理解，使得廣大的中學數學教師正面臨着前所未有的危機與挑戰。

教師是一個專門的職業，作為一位優秀的數學教師需要有良好的數學教育素養。面對時代的要求，面對新的教學理論、教育技術，如何處理傳統與現代的關係，改進教學方式，讓學生主動參與教學，減輕學生過重的數學學習負擔，提高數學教學效率，促進學生長遠發展，這些都需要教師對數學教育理論進行系統的學習與研究。

全國高等師範院校數學教育類課程與教材建設正在進行之中。近年來的全國高等師範院校數學教育研究會特別將“數學教育專業課程建設”以及“研究生培養”作為重點專題來研究。 ^[1]