布爾巴基學派

20世紀30年代後期，法國數學期刊上發表了若干數學論文，所論問題深刻，內容詳盡，署名為尼古拉·布爾巴基。1939年出版了一本《數學原本》這是一套關於現代數學的綜合性叢書的第一卷，作者也是尼古拉·布爾巴基。這逐漸引起人們的重視，到底誰是布爾巴基，數學界議論紛紛。沒有一個尋找布爾巴基的人真正遇見過他，於是布爾巴基成了法國數學界的一個謎。關於“布爾巴基”，曾經有過各種玩笑和傳説，但布爾巴基實際上是一批年輕的法國數學家，這已經是眾所周知的了。無論是布爾巴基這個名字還是他的存在都無關緊要，重要的是他做了什麼？他造成了什麼影響？而這是實實在在的。

布爾巴基學派是一個對現代數學有着極大影響的數學家的集體。其中大部分是法國數學家，主要的代表人物是韋伊、迪多涅、嘉當、薛華荔，等人。他們的活動從20世紀30年代中期開始，曾先後在數學雜誌上發表過一些文章，但主要工作是致力於編寫多卷集的《數學原理》。這一著作對現代數學產生了不可忽視的作用。布爾巴基學派對數學的主要影響在於他們首先引進了數學結構的概念，並用這個概念來統一數學。數學結構主要是一些對象的集合，對這些對象並沒有預先指定其特徵，而是着重考慮他們之間的關係。正是這個體系，構成了現代數學的核心。布爾巴基的結構主義觀點，在50-60年代盛極一時，在中學教材改革中曾經奉為經典。但是布爾巴基學派認為數學只是研究結構的科學，因此只對抽象的數學結構感興趣而對對象本身究竟是數、是形、是函數還是運算並不關心，因此70年代以來，結構主義觀點開始走下坡路了。

在1914年到1918年的大戰中，德國政府和法國政府對於關係到科學的問題的看法並不一樣。德國人讓他們的學者去研究科學，通過他們的發現以及對發明或者方法的改進來提高軍隊的力量，結果這些都有助於德國戰鬥力的增長。而法國人，至少在戰爭初期一兩年間，認為人人應該上前線，因而年輕的科學家正如其他的法國人一樣也到前線服役。這表現一種民主和愛國主義精神，對此我們只能表示敬佩，但是其後果對於年輕的法國科學家來説卻是可怕的大屠殺。高等師範院校的優秀學生們有三分之二是被戰爭毀掉的。20世紀20年代，一些百裏挑一的天才人物如韋伊、德爾薩特、嘉當、迪多涅、薛華荔等進入萬人競試的高等師範學校。但他們沒有碰到什麼年輕教師，而都是些著名的老頭子，基礎課就是由他們負責教授。這些老頭們的確很著名，不過他們只知道他們在20歲或30歲時學的數學，而 對20世紀的數學他們認識得相當模糊。

這個時期，德國數學突飛猛進，湧現了一批第一流的數學家：諾特、西格爾、阿廷、哈塞等等，而法國人還故步自封，對敵國的進展不甚瞭解，對新興的莫斯科拓撲學派和波蘭的拓撲和泛函分析學派就更是一無所知。而對其他象馮·諾依曼和黎茲的工作也不理解，只知道棲居在自己的函數論的小天地中。在這裏，函數論是至尊無上的。不過，法國人中也有代表先進潮流的數學家如e·嘉當；但是，他超出他同時代人的水平20多年，誰也不理解他的工作。（在龐加萊之後，最先理解他的工作的是赫爾曼·外爾，在十年之中，他是唯一理解嘉當的人。）因此除嘉當之外，其他人完全封閉在 函數論當中了，雖然函數論是重要的，但畢竟只代表數學的一部分。

在進入高師的年輕人中，迪多涅，魏伊，亨·嘉當等人，不滿足於法蘭西數學界的現狀，把觸角伸向“函數論王國”之外他們深刻認識到了法國數學同世界先進水平的差距。他們痛切感覺到，如果還繼續搞這個方向，法國的數學就肯定要走進死衚衕。當然，法國數學家在函數論方面仍然可以很出色，但是在數學的其他方面，人們就會忘掉法國的數學家了。這就會使法國的二百多年的傳統中斷，因為從費爾馬到龐加萊這些最偉大的數學家都總是具有博大全才的數學家的名聲，他們既能搞算術和代數，又能搞分析和幾何。恰恰是這些有遠見的青年人，在法國科學全面落後的情況下，使法國數學在第二次世界大戰之後又能保持先進水平，而且影響着整個現代數學的發展。可以説，當時打開那些年輕人通往外在世界的通道只有阿達瑪的討論班。阿達瑪是法蘭西學院的教授。在年初，他把他認為最重要的論著分配給打算在討論班上做報告的人。在當時這是件新鮮事，但對青年人的提高大有好處。在1934年阿達瑪退休之後，g·儒利雅以稍稍不同的方式繼續主持這個討論班。以更系統的方式去研究從所有方向上進來的偉大的思想。這批年輕人決心象範·德·瓦爾登整理代數學那樣，從頭來起，把整個數學重新整理一遍，以書的形式來概括現代數學的主要思想，而這也正是布爾巴基學派及其主要著作《數學原理》產生的起源。當時，布爾巴基的大多數成員還不到30歲，年紀稍大些的也不過才30出頭。假如他們年紀再大一些，知識再多一些，他們也就永遠不會開始這項偉大的事業了。布爾巴基的成員以高度的熱情開始進行工作。可是20世紀的數學已經發展到這樣一個程度，即每一位數學家都必須專業化。也許只有少數象龐加萊和希爾伯特這樣的大數學家才能掌握整個數學。而對於普通的數學家，要想對整個領域有一個全面的認識，並能抓住各個分支的內在關係，那是非常困難的。為了達到原來的目標—對數學所有分支中的基本概念加以闡明，然後在此基礎上再集中於專門學科，布爾巴基的成員應該對於他所聽到的所有東西都有興趣，並且在一旦需要時，能夠寫書中的一章，即便那不是他們的專長。因此他們必須從一開始就要忘掉自己的專業。假如他是位狂熱專迷的代數學家，説“我只對代數學有興趣對其它東西一概不感興趣”，那麼他將永遠不會成為布爾巴基的成員。布爾巴基所使用的工作方法極為冗長而且艱苦。他們一年舉行兩三次集會，一旦大家多多少少一致同意要寫一本書或者一章論述某種專題，起草的任務就交給布爾巴基中想要擔任的人。這樣，他就由一個相當泛泛的計劃中開始寫一章或幾章的初稿。一般來説，他可以自由的篩選材料，一兩年之後，將所完成的初稿提交大會，然後一頁不漏地大聲宣讀，接受大家對每個證明的仔細審查，並且受到無情的批評。如果哪一位有前途，有見解的青年被注意到並被邀請參加布爾巴基的一次大會，而且能經受住討論會上“火球般”的攻擊，積極參加討論，就自然而然被吸收為新成員，但如果他只是保持沉默，下次決不會受到邀請。布爾巴基的成員不定期更換，年齡限制在50歲以下。雖然一個過50歲的人仍然可以是一位非常好的並且極富有成果的數學家，但是他很難接受新思想，接受那些比他年輕25到30歲的人的思想。為了避免這種遲早會導致布爾巴基的分裂的緊張關係，因此一開始,就決定布爾巴基的成員都要在50歲退出。在討論會上，短兵相接的批判與反批判，不受年齡的限制，即便兩人相差20歲，也擋不住年輕的責備年紀大的，説他對這個問題什麼也不懂。大家都知道正確對待這種情況的方法是一笑置之。因此，在布爾巴基的成員面前，沒有人敢自誇自己是一貫正確的。有時一個題目要幾易作者，第一個人的原稿被否定，由第二個人重寫，下次大會上第二個人的原稿也許會被撕得粉碎，再由第三個人重新開始。從開始搞某一章到它成書在書店中發賣，其間平均需要經歷8到12年。

布爾巴基成員力圖把整個數學建立在集合論的基礎上，儘管這一開始就遭到了許多人的反對。幾十年上百年形成的代數幾何學，它那大大小小的眾多成果，能不能在抽象代數和拓撲的基礎上構成一座嚴整的數學大廈，這一問題就成了布爾巴基觀點的試金石。1935年底，布爾巴基的成員們一致同意以數學結構作為分類數學理論的基本原則。“數學結構”的觀念是布爾巴基學派的一大重要發明。這一思想的來源是公理化方法，布爾巴基採用這一方法，反對將數學分為：分析、幾何、代數、數論的經典劃分，而要以同構概念對數學內部各基本學科進行分類。他們認為全部數學基於三種母結構：代數結構、序結構、和拓撲結構。所謂結構就是“表示各種各樣的概念的共同特徵僅在於他們可以應用到各種元素的集合上。而這些元素的性質並沒有專門指定，定義一個結構就是給出這些元素之間的一個或幾個關係，人們從給定的關係所滿足的條件（他們是結構的公理）建立起某種給定結構的公理理論就等於只從結構的公理出發來推演這些公理的邏輯推論。”於是一個數學學科可能由幾種結構混合而成，同時每一類型結構中又有着不同的層次。比如實數集就具有三種結構：一種由算術運算定義的代數結構；一種順序結構；最後一種就是根據極限概念的拓撲結構。三種結構有機結合在一起，比如李羣是特殊的拓撲羣，是拓撲結構和羣結構相互結合而成。因此，數學的分類不再象過去那樣劃分成代數、數論、幾何、分析等部門，而是依據結構的相同與否來分類。比如線性代數和初等幾何研究的是同樣一種結構，也就説它們“同構”，可以一起處理。這樣，他們從一開始就打亂了經典數學世界的秩序，以全新的觀點來統一整個數學。布爾巴基學派的主要著作是《數學原理》。它對整個數學作完全公理化處理的 第一個目標是研究所謂“分析的基本結構”。這在《數學原理》中屬於第i部分，

第i部分又分為：

第Ⅰ卷 集合論 第Ⅳ卷 一元實變函數

第Ⅱ卷 代數 第Ⅴ卷 拓撲向量空間

第Ⅲ卷 一般拓撲學 第Ⅵ卷 積分論

正如布爾巴基學派所言：“從現在起，數學具有了幾大類型的結構理論所提供的強有力的工具，它用單一的觀點支配着廣大的領域，它們原先處於完全雜亂無章的狀況，現在已經由公理方法統一起來了。”“由這種新觀點出發，數學結構就構成數學的唯一對象，數學就表現為數學結構的倉庫。”

二戰前，布爾巴基只完成了《數學原理》第Ⅰ部分的第Ⅰ卷“集合論”中的一個分冊—“結果”。這本還不到50頁的小冊子在1939年首次出版，之後於1940年出版《一般拓撲學》的第一、第二章，1942年出版第三、第四章及《代數學》的第一 章。這四本書已經反映出布爾巴基精神，而且是《數學原理》的基礎。《數學原理》的各分冊都是按照嚴格的邏輯順序來編排的。在某一處用到的概念或結果，一定都在以前各卷、各分冊中出現過。這種嚴格而精確的風格也有其優 點：所有主要結果都清楚而確切地表述出來，成為一個完美的體系。所以，布爾巴基的《數學原理》以他的嚴格準確而成為標準參考書，並且是戰後的數學文獻中被人引用次數最多的書籍之一。布爾巴基學派的思想及寫作風格成為青年人仿效的對象，很快地“布爾巴基的”便成了一個專門的名字就風靡了歐美數學界。比如説，眾所周知，在一門科學成熟之前，名詞的運用是非常混亂的，各人自用一套，而每人又有一批追隨者沿襲他的用法，這就造成了互相理解的困難。憑着布爾巴基的各位大師的威望，許多數學名詞，尤其是拓撲學及泛函的新詞，都以布爾巴基為準。正是布爾巴基的《數學原理》使第二次世界大戰以後的數學名詞得到了空前的統一。隨着名詞的統一，使數學符號也統一起來了。數學文獻中最常用的自然數集合、整數集合、有理數集合、實數集合、複數集合，都按布爾巴基的用法分別用 n、z 、q 、r、c 來表示。使布爾巴基更為出名的是他的許多成員在戰前和戰後的工作開始為大家所知，尤其是代數數論、代數幾何學、李羣、泛函分析等方面的成就。這使得布爾巴基的活動更加引人注目了。可以説，60年代中期，布爾巴基的聲望達到了頂峯。布爾巴基討論班的議題無疑都是當時數學的最新成就。在國際數學界，布爾巴基的幾位成員都有着重要的影響，連他們的一般報告和著作都引起很多人注意。

在20世紀的數學發展過程中，布爾巴基學派起着承前啓後的作用。他們把人類長期積累起來的數學知識按照數學結構整理成為一個井井有條博大精深的體系。他們的《數學原理》成為一部新的經典著作，還是許多研究工作的出發點與參考指南。這個體系連同他們對數學的貢獻，已經無可爭辯地成為當代數學的一個重要組成部分，併成為蓬勃發展的數學科學的主流。

利用數學結構來統一整個數學的願望誠然很好，並且也獲得巨大的成功，不過，客觀世界是五花八門、千變萬化的。其中特別是那些與實際關係密切，與古典數學的具體對象有關的學科及分支，很難利用結構觀念一一加以分析，更不用説公理化了。而且自60年代以來，這些分支有了越來越快的發展，越發難以納入“數學結構”的範疇之中。

正在蓬勃發展的大量組合數學問題很少能夠系統化。對一個一個的具體問題進行具體分析令布爾巴基學派很頭疼。他們雖能一下子解決一大批問題，但對小問題卻有時無法處理。實際問題往往與計算數學有關，要通過計算機進行運算，而布爾巴基成員卻對此不屑一顧。實際上，他們在這方面根本就是無能為力的。由於布爾巴基曾獲得很大成就，使得“新數學”從60年代起就進入中小學數學教學，從而造成了巨大的社會問題。幼稚園的小朋友要學集合論，到中學就要教環與理想，這不僅學生吃不消，連教師也叫苦連天。這種“新數學”教育在法國、美國等國家推行一段時期後，效果明顯不佳，因此有些人就遷怒於布爾巴基，形成了一股反布爾巴基的浪潮。當然，布爾巴基的數學體系常常因其極端形式化、抽象化、公理化以及脱離實際而遭到批評，還有些批評者認為布爾巴基的數學是不結果實的。實際上，這些批評是不公正的。布爾巴基的確追求形式上的嚴整及漂亮，但是，他們的抽象概念並不是無源之水，無本之木，他們也從來不做那些為推廣而推廣，為抽象而抽象的工作。不過，脱離實際的工作在當時確實存在，甚至在某些領域還頗為氾濫，於是有些人把它歸咎於布爾巴基。歸根結底，這是一種偏離布爾巴基的趨向。在70年代獲得重大發展的是分析數學、應用數學、計算數學。用計算機證明的四色定理，成功地揭開了數學歷史的新篇章，開闢了機械證明的光輝途徑。同時， 與布爾巴基精神背道而馳的“構造主義”，也由一度停滯而再獲新生。這樣，就促使數學的發展由布爾巴基所指引的抽象的、結構主義的道路轉向具體的、構造主義的、結合實際的、結合計算機的道路，從而結束了布爾巴基學派那燦爛輝煌的黃金時代。數學是年輕人的科學，只有不斷注入新鮮血液才能維持數學之樹常青。不過，布爾巴基學派完成了它的歷史任務，並已經被送進了墳墓。可是布爾巴基的名聲不可磨滅，他的遺產將永世長存！

科學研究需要羣體的力量，作為一個羣體，它將博採眾長.。每個成員都有各自的特長，他們可能在不同的問題上有所發現，儘管個人觀點會有所偏頗，但通過集體的力量，可以彌補這一缺陷，從而使每個具體問題得到深入的研究，最終找到最滿意的答案。這樣就推動數學向更深、更系統的方向發展。

當然我們應該辨證的看待學派在數學發展中所產生的影響。一方面，數學已趨向社會化，他直接服務於戰爭，服務於經濟、生產的各個部門。另外數學還與其他的許多學科（如生物學、經濟學、語言學等等）結合，形成了新的分支，促進了整個國家在多個領域的發展。另一方面，學派是由一些志同道合的人組成的，他們的觀點在一定程度上是相同的，因此與其他學派的觀點必然存在着對立的一面，可以 説學派之間是互相排斥的。也就是説，道不同，不相為謀。這就導致了學派本身的狹隘性和保守性。從這方面講，學派在一定程度上限制了數學取得更大的發展。

魏伊 迪多涅 嘉當 薛華荔 尼古拉·布爾巴基