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戴德金原理

戴德金原理（Dedekind principle）亦稱戴德金分割，是保證直線連續性的基礎，其內容為：如果把直線的所有點分成兩類，使得：1.每個點恰屬於一個類，每個類都不空。2.第一類的每個點都在第二類的每個點的前面，那麼，或者在第一類裏存在着這樣的點，第一類中所有其餘的點都在它的前面；或者在第二類裏存在着這樣的點，它在第二類的所有其餘的點的前面^[3] 。這個點決定直線的戴德金割切，此點稱為戴德金點(或界點)，戴德金原理是戴德金((J.W.)R.Dedekind)於1872年提出來的，在構造歐氏幾何的公理系統時，可以選取它作為連續公理，在希爾伯特公理組Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的基礎上，阿基米德公理和康托爾公理合在一起與戴德金原理等價^[1] 。

中文名: 戴德金原理
外文名: Dedekind principle
所屬學科: 數學

所屬問題: 高等幾何(幾何基礎)
別名: 戴德金分割
提出者: 戴德金((J.W.)R.Dedekind)

戴德金原理戴德金分割

定義若將實數集R分成兩個子集S和T，它們滿足：

(1)

；

(2)

；

(3)

，總有x<y(稱S為左集，T為右集)

則稱為實數集R的一個“戴德金分割”，記作(S，T)^[2] 。

“戴德金分割”的第一條要求是左集S與右集T都不是空集，也就是説它們中都有實數，簡稱為不空。第二條要求是S和T包含了所有的實數，換句話説，對於任何一個實數或者屬於左集S或者屬於右集T，二者必居其一，簡稱為不漏。第三條要求是左集S中的實數都比右集T中的實數小，簡稱為不亂。由第三條可以推知左集中的實數不會在右集中出現，右集中的數也不會在左集中出現。若x屬於左集，凡小於x的實數也都屬於左集，若y屬於右集，凡大於y的實數也都屬於右集。

例如令

讀者可以驗證(S，T)是一個戴德金分割，再如令

S={x∈R | 存在自然數n，使

}，

T={x∈R | x≥1}。

這也確定了一個戴德金分割(S，T)。

第一個戴德金分割中，左集S有最大數

，而右集T沒有最小數；第二個戴德金分割正相反，左集S沒有最大數，而右集T有最小數1。

和1都叫做相應的戴德金分割的中介點。一般説來，實數上的戴德金分割必有中介點，下面的定理便説明這一點，而在有理數集上若類似地作一個戴德金分割就不一定有中介點了。例如若令S={x∈Q | x≤0，或x²≤2)，T={x∈Q | x>0，且x²>2)則(S，T)構成對有理數集Q的戴德金分割，但左集S無最大數；右集T無最小數，也就是(S，T)沒有中介點^[2] 。

戴德金原理實數的構造

19世紀戴德金利用他提出的分割理論，從對有理數集的分割精確地給出了實數的定義，並且該定義作為現代數學實數理論的基礎之一可以推出實數理論中的六大基本定理：確界原理、單調有界定理、閉區間套定理、有限覆蓋定理、緻密性定理和柯西收斂準則。

在對有理數集Q利用戴德金分割構造實數之前，先給出一個引理：任意兩個有理數之間，必然存在無數個有理數。引理非常容易證明，設a和b是兩個有理數，那麼它們的算術平均值

也必然是有理數並且c一定介於a和b之間。

現在對有理數集Q任意作一個戴德金分割(S,T)，此時可能會出現以下3種情況。

（1）S中有最大值，而T中無最小值。例如

（2）S中無最大值，而T中有最小值。例如

（3）S中無最大值，且T中無最小值。例如

不存在（4）S中有最大值，且T中有最小值。這是因為如果設S中的最大值為a，T中的最小值為b，根據引理，它們的算術平均數c也是有理數且a<c<b。但因為a是S中的最大值，所以c不在S中。而b是T中的最小值，所以c也不在T中。這就導致了有理數c不屬於S和T的任意一個集合，與戴德金分割要求S∪T=全集Q矛盾。

對於情況（1）和（2）戴德金稱該分割確定了一個有理數，或者把這樣的分割叫做一個有理數。對於（3），戴德金稱該分割確定了一個無理數，或者把這樣的分割叫做一個無理數。有理數和無理數統稱為實數，記做R，因此每個實數就是一個對有理數集Q的分割。

在這樣的定義下可以給出實數相等的定義以及大小的比較。

相等：設實數a、b是兩個戴德金分割(S,T)、(S',T')。若集合S=S'（此時必有T=T'），則稱a=b。

大小比較：若集合S⫋S'，則稱a<b。若集合S⊆S'，則稱a≤b。

也就是説，要證明兩個實數相等，只需要證明分割所得到的S和S'相等。