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整閉整環
鎖定
整閉整環(integrally closed domain)亦稱正規環，是刻畫戴德金整環的重要概念，若整環R在它的商域中整閉，稱R為整閉整環。例如，單一分解環、賦值環均是整閉整環，整閉性是局部性質
[1]
。
- 中文名
- 整閉整環
- 外文名
- integrally closed domain
- 所屬學科
- 環論
- 別 名
- 正規環
- 相關概念
- 整閉包，整閉性，整環等
整閉整環定義
一個整環叫作整閉整環，如果它在它的分式域中是整閉的。
[4]
整閉整環例子
整閉整環基本介紹
命題1令
是環，
在
上整。
i) 如果b是B的理想，
，那麼
在
上整。
ii) 如果S是A的乘法封閉子集，那麼
在
上整。
命題(1)的ii)可以加強為：
命題2 令
是環，C是A在B中的整閉包，令S是A的一個乘法封閉子集，那麼
是
在
中的整閉包。
整閉整環相關性質
整閉性是局部性質：
命題3 令A是一個整環，那麼下列斷言是等價的：
i) A是整閉的；
ii) 對每個素理想
是整閉的；
iii)對每個極大理想
是整閉的。
引理1 令C是A在B中的整閉包，
表示
在C中的擴理想，那麼
在B中的整閉包是
的根(因此在加法和乘法之下是封閉的)。
命題4 令
是整環，A是整閉的，
在A的理想
上整，那麼
在A的分式域K上代數，而且如果
在K上的極小多項式是
，那麼
位於
中。
定理(“下降定理”)令
是整環，A是整閉，B在A上整，令
是A的素理想鏈，
是B的素理想鏈，使得
，那麼鏈
可以擴充為鏈
，使得
。
整閉整環Dedekind環
(1) A為Noether環；
(2) A為整閉整環；
(3) 除0以外的A的素理想(ideal)均為極大理想。
這裏我們來解釋一下所用術語的意思。A為Noether環是説A滿足下述條件(1)。
(1) A的任意理想均為有限生成。
這個條件與下述(2)一(4)中任一個均等價。
(2) 設
為A的理想的遞增序列，則存在N使得
(3) 設
為A的理想組成的非空集合，則存在屬於
的
滿足條件“如果
且
，則
”．
(4) 有限生成A模的子模也是有限生成的。
稱A為整環是説A為非零環，而且滿足條件
對於
，若
則或
或
.
當A為環B的子環時，稱B的元x在A上整是説x滿足某個A係數方程
稱環A的理想
為素理想是説，剩餘環
為整環，這個條件等價於滿足下面的條件(1)，(2)。
(1)若
，則或
或
；
(2)
。
稱A的理想
為極大是説剩餘環
為域，這個條件等價於滿足下面的條件(1)，(2)。
(1)包含
的A的理想只有A或是
自己；
(2)
。
