換底公式

換底公式是對數運算及其相關應用中一個非常重要的公式，其作用是將不同底數的對數轉化成同底數的對數，特別是將一般對數轉化成自然對數或常用對數，便於對數的的化簡與求值。 ^[1] 

對於

且

，有

法一：若有對數

，設

，

0)"> 。

則根據對數的基本公式

和

及

,

可得

則有

證畢。

法二：若有對數

，則

，且

於是

兩邊取以c為底的對數得

，

，即

。

證畢。

法三：若有對數

，則

，且

，x≠0，於是

即

從而

證畢。

下面給出若干推論。由換底公式，易知

在高等數學中有一種求導方法叫對數求導法，其原理就是指數函數的換底，把底為普通常數或變量的指數函數或冪指函數統統都變形為以e為底的複合函數形式。

這些都可以很容易地由對數換底公式及推論得到。

通常在處理數學運算中，將一般底數轉換為以e為底的自然對數或者是轉換為以10為底的常用對數，方便運算；有時也通過用換底公式來證明或求解相關問題；

在計算器上計算對數時需要用到這個公式。例如，大多數計算器有自然對數和常用對數的按鈕，但卻沒有[log2]的。要計算

，你只有計算

（或 ，兩者結果一樣）；

在工程技術中，換底公式也是經常用到的公式。

例如，在編程語言中，有些編程語言（例如C語言）沒有以a為底b為真數的對數函數，只有以常用對數（即以10為底的對數）或自然對數（即e為底的對數）。此時就要用到換底公式來換成以e或者10為底的對數，表示出以a為底b為真數的對數表達式，從而處理某些實際問題。