拉格朗日量密度

拉格朗日量是動能T與勢能V的差值：

通常，動能的參數為廣義速度

（符號上方的點號表示對於時間{\displaystyle t}的全導數），而勢能的參數為廣義座標

，所以，拉格朗日量的參數為

。解析一個問題，最先要選擇一個合適的廣義座標。然後，計算出其拉格朗日量。假定這些參數（廣義座標、廣義速度）都互相獨立，就可以用拉格朗日方程來求得系統的運動方程。

假設一個物理系統的拉格朗日量為

，則此物理系統的運動，以拉格朗日方程表示為

其中，

是時間，

是廣義座標，

是廣義速度。

一個物理系統的作用量

是一種泛函，以數學方程定義為

其中，

是系統的拉格朗日量，廣義座標

是時間

的函數，

和

分別為初始時間和終結時間。

假若，作用量的一次變分

，作用量

為平穩值，則

正確地描述這物理系統的真實演化。從這變分運算，可以推導出拉格朗日方程

詳盡相關導引，請參閲拉格朗日方程。

拉格朗日表述是經典力學的一種重新表述。拉格朗日表述的重要性，不只是因為它可以廣泛應用在經典力學；而更是因為它能夠幫助物理學家更深刻地瞭解一個物理系統的物理行為。雖然拉格朗日只是在尋找一種表述經典力學的方法，他用來推導拉格朗日方程的平穩作用量原理，已被學術界公認為在量子力學也極具功用。

拉格朗日量有一個優良的性質，那就是守恆定律可以很容易地從它的表達式讀出來。例如，假設拉格朗日量

跟某廣義速度

有關，而跟廣義座標

無關，則對應的廣義動量

是一個守恆量。這種座標稱為“可略座標”，或“循環座標”。更詳細地説，拉格朗日量的形式為

直接檢視，就可以發覺

跟

無關，因此可以推斷

是一個守恆量。

以此類推，假設，時間

不在

的表達式裏面，則哈密頓量守恆，即能量守恆。這種物理行為是諾特定理的一個特別案例。

假定檢驗粒子的質量和電荷超小，其對於外在系統的影響可以忽略。檢驗粒子時常可以想像為簡單的質點粒子，只擁有質量和電荷性質。像電子或上夸克一類的真實粒子具有更復雜的性質，它們的拉格朗日量含有更多項目。

在狹義相對論的四維空間裏，一個移動中的粒子的相對論性拉格朗日量可以寫為

其中，m是粒子的靜質量，c是光速，v是粒子的速度。

其拉格朗日方程為

其中，

是洛倫茲因子。

注意到動量

、作用力

。將這些公式代入拉格朗日方程，就可複製牛頓第二定律的方程：

因此，這拉格朗日量被認定為正確無誤。

這粒子的廣義動量

定義為

假設這物理系統的勢能為零，這粒子是自由粒子，則此係統的能量函數h為

這是質能方程：粒子的總能量等於其質量乘以光速平方。

假設粒子速度超小於光速，則拉格朗日量的動能部分可以近似為

靜質量的能量

是個常數，可以忽略（其變分等於零）。相對論性拉格朗日量又變回經典拉格朗日量：