拉普拉斯展開

在數學中，拉普拉斯展開（或稱拉普拉斯公式）是一個關於行列式的展開式。將一個

矩陣B的行列式進行拉普拉斯展開，即是將其表示成關於矩陣B的某一行（或某一列）的 n個元素的

餘子式的和。行列式的拉普拉斯展開一般被簡稱為行列式按某一行（或按某一列）的展開。由於矩陣B有 n行 n列，它的拉普拉斯展開一共有 2n種。拉普拉斯展開的推廣稱為拉普拉斯定理，是將一行的元素推廣為關於k行的一切子式。它們的每一項和對應的代數餘子式的乘積之和仍然是B的行列式。研究一些特定的展開可以減少對於矩陣B之行列式的計算，拉普拉斯公式也常用於一些抽象的推導中。 ^[1] 

設B= (b_ij)是一個n×n矩陣。B關於第i行第j列的餘子式M_ij是指B中去掉第i行第j列後得到的n−1階子矩陣的行列式。有時可以簡稱為B的

餘子式。B的

代數餘子式：C_ij是指B的

餘子式M_ij與(-1)^i+j的乘積： ^[1] 

C_ij= (−1)^i+jM_ij ^[2] 

拉普拉斯展開最初由範德蒙德給出，為如下公式：對於任意i,j∈ {1, 2, ...,n}：

考慮以下的矩陣：

這個矩陣的行列式可以用沿着第一行的拉普拉斯展開式來計算：

也可以用沿着第二列的拉普拉斯展開式來計算：

很容易看到這個結果是正確的：這個矩陣是奇異的，因為它的第一列和第三列的和與第二列成比例，因此它的行列式是零。

設B是一個

的矩陣，

。為了明確起見，將

的係數記為

，其中

。 ^[3] 

考慮B的行列式|B|中的每個含有

的項，它的形式為：

其中的置換τ ∈S_n使得τ(i) =j，而σ ∈S_n-1是唯一的將除了i以外的其他元素都映射到與τ相同的像上去的置換。顯然，每個τ都對應着唯一的σ，每一個σ也對應着唯一的τ。因此我們創建了S_n−1與{τ∈S_n:τ(i)=j}之間的一個雙射。置換τ可以經過如下方式從σ得到：

定義σ' ∈S_n使得對於1 ≤k≤n−1，σ'(k) = σ(k)並且σ'(n) =n，於是sgnσ' = sgn σ。然後

由於兩個輪換分別可以被寫成

和

個對換，因此

因此映射σ ↔ τ是雙射。由此：

從而拉普拉斯展開成立。

拉普拉斯在1772年的論文中給出了行列式展開的一般形式，稱為拉普拉斯定理。拉普拉斯定理建立在子式和餘子式的基礎上，説明了如果將B關於某k行的每一個子式和對應的代數餘子式的乘積加起來，那麼得到的仍然是B的行列式。定理的證明與按一行（一列）展開的情況一樣，都是通過建立置換間的雙射來證明兩者相等。 ^[1]