弗雷德霍姆理論

弗雷德霍姆理論是關於線性積分算子的基本理論之一。

設G是R^N中具有非零測度的可測集，k(x,y):G×G→R¹連續，D(λ)是k(x,y)的弗雷德霍姆行列式，D(x,y;λ)是k(x,y)的弗雷德霍姆第一子式，K是由k(x,y)確定的弗雷德霍姆線性積分算子，即

弗雷德霍姆理論由下列三個基本定理組成：

若D(λ)≠0，則方程

對任給的連續函數f(x)，都有惟一連續解，且該解可以表為

若D(λ)=0，則必存在某正整數r（稱為是λ的指數），使得

有r個線性無關的連續解，並且它的任何連續解都可以表為這r個線性無關解的線性組合。

若D(λ)=0，λ的指數為r，則

有連續解的充分必要條件是

其中ψ_i(x)(i=1,2,...,r)是轉置方程

的r個線性無關連續解。

上述定理是弗雷德霍姆(Fredholm,E.I.)通過積分方程與線性代數方程組類比的方法（即把線性積分方程看成是“無窮維”線性方程組）於1900年獲得的，但他沒有給出嚴格的證明。

弗雷德霍姆理論的嚴格證明是由希爾伯特(Hilbert,D.)在1904-1910年期間給出的。當k(x,y)是平方可積函數時，與上述定理類似的結論也是成立的。

弗雷德霍姆理論，可以推廣到作用在巴拿赫空間上的全連續算子方程x=Ax+y上，其中A:E→E是全連續算子。這一推廣就是泛函分析中里斯-紹德爾理論，它分別由里斯(Riesz,F.)和紹德爾(Schaader,J.P.)所提出。 ^[1]