弗雷德霍姆線性積分算子

弗雷德霍姆線性積分算子是一類重要的線性積分算子，是n維空間上的線性算子當n變成無窮時的極限式。

設G是R^N中的可測集，

是可積函數，則下列形式的算子

稱為弗雷德霍姆線性積分算子。k(x,y)可以表達為

的形式，其中a_i(x)和b_i(y)(1≤i≤n)都是可數，則相應的線性積分算子稱為是具有退化核的線性積分算子。

具有退化核的線性積分算子本質上可以歸結為有限維空間上的線性算子，從而它的性質實質上已在線性代數中被搞清楚了。弗雷德霍姆線性積分算子的一個重要性質是它可以用具有退化核的線性積分算子平均逼近。

根據這一性質，可以把有限維空間上線性算子的性質，通過極限的方法，轉移到弗雷德霍姆線性積分算子上。這一方法是研究線性積分方程的重要方法之一。

沃爾泰拉(Volterra,V.)於1896-1897年首先開始了對弗雷德霍姆線性積分算子的研究，他指出弗雷德霍姆線性積分算子，是n維空間線性算子當n變成無窮時的極限形式。

在這一觀點的基礎上，弗雷德霍姆(Fredholm,(E.)I.)於1900年提出了著名的弗雷德霍姆理論，隨後，經過希爾伯特(Hilbert,D.)、施密特(Schmidt,E.)和里斯(Riesz,F.)等人的工作，線性積分算子的理論逐漸系統和成熟起來。

正是在這一過程中，泛函分析的思想和方法被孕育和產生出來，並最終成為現代數學的一個重要領域。 ^[1]