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布利安桑定理
鎖定
布利安桑(Brainchon)定理是一個射影幾何中的著名定理,其定理內容為:六條邊和一條圓錐曲線相切的六邊形的三條對角線共點,此點被稱為該六邊形的佈列安桑點。
- 中文名
- 布利安桑定理
- 外文名
- Brainchon
- 提出者
- Brainchon
- 提出時間
- 1806年
- 適用領域
- 平面幾何
- 應用學科
- 數學
布利安桑定理定理定義
布利安桑定理敍述如下:如果六邊形的邊交替地通過兩個定點P和Q,則連接六邊形的相對的頂點的三條對角線是共點的。
[注1] 此處的對角線指主對角線,若六邊形的六個頂點記作 A1, A2, A3, A4, A5, A6,則三條(主)對角線為 A1A4, A2A5, A3A6.
布利安桑定理定理證明
布利安桑定理證明一
已知:如圖所示,六邊形ABCDEF外切於一圓。
求證:AD,BE,CF共點。
證明:如圖所示,從外切六邊形的各個切點如圖方向延長,使圖中所有紅色的線段相等。(即若設AB、BC、CD、DE、EF、FA分別切圓於G'、L'、I'、H'、K'、J',則分別延長AB、CB、CD、ED、EF、AF到G、H、I、J、K、L,而且滿足GG'=HH'=II'=JJ'=KK'=LL')分別過G、H為切點作圓O1,I、J為切點作圓O2,K、L為切點作圓O3
由切線長定理易推出GB=BL,HE=KE,所以BE為圓O1和圓O3的根軸,
得證
布利安桑定理證明二
如右圖所示。
--------------------(以下為右圖中的內容)---------------------------------------
求證:AD、BE、CF交於一點。
證明:設AD、BE交於點O。AB、BC、CD、DE、EF、FA分別切圓於G、H、I、J、K、L。
由牛頓定理3知AD、GJ、IL交於點P;BE、GJ、HK交於點Q,CF、HK、IL交於點R。
由弦切角定理易得∠BGJ=∠DJG,
作OS//AB交GJ於S,OT//DE交GJ於T,則∠OTS=180°-∠DJG=180°-∠BGJ=∠OST,所以OT=OS,
作OU//CD交PI於U,又因為OT//DE,則OU/ID=PO/PD=OT/DJ(平行線分線段成比例定理),
由切線長定理知ID=DJ,所以OU=OT,
作OV//BC交HQ於V,同理可證OV=OS,
所以OU=OT=OS=OV,
因為OU//CI,所以OC被IU分成的兩段之比為OU/CI(平行線分線段成比例定理),
因為OV//CH,所以OC被HV分成的兩段之比為OV/CH(平行線分線段成比例定理),
又因為OU=OV(已證),CI=CH(切線長定理),
所以OU/CI=OV/CH,即IU、OC的交點與HV、OC的交點重合,所以IU、OC、HV共點,
又因為CF、HK、IL共點(已證),所以C、O、F共線,即AD、BE、CF共點,
得證。
--------------------(以上為右圖中的內容)---------------------------------------
布利安桑定理定理推廣
布利安桑定理發展簡史
佈列安桑定理由法國數學家 Charles Julien Brianchon (1783–1864) 發現, 按照法語發音,Brianchon 應該譯為“布里昂雄”,數學名詞譯者多不懂法語,誤按英語發音譯為“佈列安桑”,此名詞已廣為人知,故從之。
佈列安桑定理是射影幾何中的另一個著名定理——帕斯卡(Pascal)定理的對偶定理。
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