根心定理

平面上任意一點

對圓

的冪定義為以下函數：

考慮到圓的方程也可以寫為圓心-半徑的形式：

由此也可以把點對圓的冪定義為：

這裏

是點

到圓心

的距離，

是圓的半徑。

點對圓的冪的幾何意義是明顯的：

若點在圓外，則冪為點到圓的切線長度的平方；

若點在圓上，則冪為0；

若點在圓內，則冪為負數，其絕對值等於過點

且垂直於

的弦長的一半的平方。

平面上兩不同心的圓

顯然，對兩圓等冪的點集是直線：

該直線稱為兩圓的根軸。根軸必垂直於兩圓的連心線。

若兩圓相交，則根軸就是連接二公共點的直線；

若兩圓相切，則根軸就是過切點的公切線；

若兩圓相離或內含，則根軸完全位於兩圓之外，但仍垂直於兩圓的連心線。

當圓1和圓2相離或內含時，用尺規作出這兩圓的根軸需要依賴“根心定理”（見第三部分）。具體的做法是：另作一個適當的圓3與前兩圓都相交，圓3分別與前兩圓形成根軸，這兩條根軸的交點即是圓1、圓2和圓3的根心，它必定在圓1和圓2所形成的根軸上；同理，再找一個適當的圓4，找到圓1、圓2和圓4的根心。連接所找到的兩個根心，即得到圓1和圓2的根軸。

根心與根心定理（解析幾何證法）

三個兩兩不同心的圓

任意兩圓形成一條根軸，因而共有三條根軸：

這三條根軸的直線方程（以下簡稱為根軸方程）是線性相關的，即由其中兩個根軸方程進行線性組合，可以得出第三個根軸方程。因此：

（i）若平面上某一點是其中兩個根軸方程的公共解（亦即兩根軸的公共點），則必定也是第三條根軸上的點。

（ii）若某兩個根軸方程無公共解（即平行），則三個根軸方程中的任意兩個均無公共解（即三條根軸兩兩平行）。

具體而言，三個兩兩不同心的圓的根軸，僅僅包含下面三種情況：

（1）三根軸兩兩平行；

（2）三根軸完全重合；

（3）三根軸兩兩相交，此時三根軸必匯於一點，該點稱為三圓的根心。

上面所證明的即是“根心定理”。

以上用解析幾何的方法證明了根心定理。在平面上，二元方程對應一條曲線，而方程組的解對應着曲線的公共點。利用這個思想，從根軸方程的線性相關性出發，容易得到平面幾何上的根心定理。這種證明方法十分簡單。

以下例題選自2013年（第54屆）國際數學奧林匹克競賽（IMO）第二天第4題：

是鋭角三角形，H是垂心。W是BC上一點（在B和C之間）。M 和N 分別是從B和C作出的高的垂足。

和

的外接圓分別記為

和

。X,Y分別是

和

上的點，且WX和WY分別是

和

的直徑。

求證： X,Y,H 三點共線。

證明：如圖1，記

和

的另一個交點為U，則UW是

和

的根軸。顯然，由於XW和YW分別是兩圓的直徑，因此XU⊥UW，YU⊥UW，從而X,U,Y共線。

顯然，B,C,M,N共圓，記該圓為

。注意到BN是

和

的根軸，而CM是

和

的根軸。BN和CM交於A點，由根心定理，

和

的根軸UW必然通過A點，這也就是説A,U,W共線，從而AU⊥XY。

記的

外接圓為

。顯然，由於AN⊥NH，AM⊥MH，因此A,M,H,N四點共圓，即H也

在上。

由密克定理，可以直接證明U也在

上（從而U就是

、

和

的公共點），從而A,N,U,H,M五點共圓，AH是該圓的直徑，則必有AU⊥UH，再由A,U,W共線，知UH⊥UW，從而X,U,H,Y四點共線。

證畢。

注：Miquel定理的內容如下：在△ABC的BC,AC,AB邊上分別取點W,M,N，對△AMN,△BWN和△CWM分別作其外接圓，則這三個外接圓共點，且該公共點是這三個圓的根心。

該定理的證明很簡單，利用“圓內接四邊形對角和為180度”及其逆定理。現在已知U是

和

的公共點。連接UM和UN，則四邊形BNUW和四邊形CMUW分別是

和

的內接四邊形，∠UWB+∠UNB=∠UNB+∠UNA=180度，從而∠UWB=∠UNA。同理∠UWB+∠UWC=∠UWC+∠UMC=180度，從而∠UWB=∠UMC。又有∠UMC+∠UMA=180度，因此∠UNA+∠UMA=180度，這正説明四邊形ANUM是一個圓內接四邊形，而該圓必是

，U必在

上。