根軸

根軸亦稱等冪軸。是一條特殊的直線。指對於不同心兩圓有相等冪的點的軌跡。即向不同心兩圓引相等切線的點的軌跡，是垂直於兩圓連心線的一條直線，該直線稱為兩圓的根軸。 ^[1] 

設兩圓O1,O2的方程分別為：

(x-a₁)²+(y-b₁)²-(r₁)²=0...(1)

(x-a₂)²+(y-b₂)²-(r₂)²=0...(2)

由於根軸上任意點對兩圓的圓冪相等，所以根軸上任一點 (x,y) ，有：

(x-a₁)²+(y-b₁)²-(r₁)²=圓冪=(x-a₂)²+(y-b₂)²-(r₂)²。

兩式相減，得根軸的方程（即x,y的方程）為2(a₂-a₁)x+2(b₂-b₁)y+f₁-f₂=0，其中f₁=(a₁)²+(b₁)²-(r₁)²，f₂類似。

(1)(2)聯立的解，是兩圓的公共點M(x₁,y₁)，N(x₂,y₂)。

如果是兩組不等實數解，MN不重合且兩圓相交，根軸是兩圓的公共弦。

如果是相等實數解，MN重合，兩圓相切，方程表示兩圓的內公切線。

如果是共軛虛數解，兩圓相離，只有代數規律發揮作用，在座標系內沒有實質。稱 M,N 是共軛虛點。

兩圓相交、相切時，根軸為兩圓交點的連線；

內含時，作一適當的圓與兩圓相交，這圓與兩圓的根軸的交點在根軸上.同理再作一點，兩點所在的直線即為根軸（等冪軸）。

1、平面上任意兩圓的根軸垂直於它們的連心線；

2、若兩圓相交，則兩圓的根軸為公共弦所在的直線；

3、若兩圓相切，則兩圓的根軸為它們的內公切線；

4、若兩圓外離，則兩圓的根軸上的點分別引兩圓的切線，則切線長相等。從而，根軸必過四條公切線的中點。

5、蒙日定理（根心定理）：平面上任意三個圓，若這三個圓圓心不共線，則三條根軸相交於一點，這個點叫它們的根心；若三圓圓心共線，則三條根軸互相平行；

6、反演後的圓和反演圓和被反演的圓3個圓共根軸。