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對頂角
鎖定
- 中文名
- 對頂角
- 外文名
- vertical angles, opposite angles
- 適用領域
- 幾何學、數學
- 範 圍
- 0度~180度(不包括0度和180度)
- 性 質
- 互為對頂角的兩個角相等
- 反映問題
- 兩個角之間的大小關係
- 定 義
- 兩條直線相交時會產生一個交點,併產生以這個交點為頂點的四個角
對頂角定義
在幾何學中,對頂角是兩個角之間的一種位置關係。兩條直線相交時會產生一個交點,併產生以這個交點為頂點的四個角。稱其中不相鄰的兩個角互為對頂角。或者説,其中的一個角是另一個的對頂角。
用數學語言描述就是:
- 設直線AD、BC交於點O。則形成四個角:∠AOB、∠COD、∠AOC、∠BOD。其中,∠AOB和∠COD互為對頂角,∠AOC和∠BOD互為對頂角。∠AOB = ∠COD,∠AOC = ∠BOD。
對頂角例子
1.對頂角一定相等,但是相等的角不一定是對頂角。
2.對頂角必須有共同頂點。
3.對頂角是成對出現的。
在證明過程中使用對頂角的性質時,以 圖1為例,
∴∠1=∠3,∠2=∠4(對頂角相等)。
對頂角巧算對頂角
任何兩條直線可以看成一個組合,這樣的組合有C(n,2)=n(n-1)/2 ,每個組合有兩對對頂角 ,因此n條直線相交於一點,共有2C(n,2)=n(n-1)對。即:
3條直線相交於一點,有(6)對不同的對頂角;
4條直線相交於一點,有(12)對不同的對頂角;
..............
n條直線相交於一點,有n(n-1)對不同的對頂角。
對頂角性質
如果兩個角是對頂角,那麼這兩個角相等。
在同一平面內,互為對頂角的兩個角相等。
對頂角歷史
勒斯生於希臘,是一位擅長於幾何學的數學家及哲學家。他一生髮現了多個幾何學定理,包括等腰三角形中的“等邊對等角”定理,也包括對頂角定理。
對頂角對頂角定理
其中
是一個平角的弧度數。
因此,
兩邊減去相同的角度
後,就得到
同樣地,可以證明
。
對頂角用途
對頂角通常用於測量角度以及證明全等三角形。以下是一個利用對頂角證明全等三角形的例子:
證明:在△ABE與△DCE中,
因此,
。
在以上證明中,∠AEB=∠CED的結論就是通過對頂角定理得出的。注意,在一般的幾何證明中,對頂角定理並不需要顯式地敍述出來,可以當作是默認的條件。