對數積分

對數積分有一個積分的表示法，對所有的正實數

都有定義： ^[1] 

在這裏，ln表示自然對數。函數1/ln (t)在t= 1處有一個奇點，當x> 1時，這個積分只能用柯西主值的概念來解釋：

由於這個積分在x趨近於0時，值會趨近於負無窮大，有些數學家為了避免麻煩，常會選擇另外一個相似的定義，歐拉對數積分定義為： ^[2] 

或

函數li(x)有一個正根，它出現在x≈ 1.45136 92348 ...。這個數稱為Ramanujan-Soldner常數。

其中

是不完全伽瑪函數。

函數li(x)與指數積分Ei(x)有以下的關係： ^[1] 

其中x>1。這個等式提供了li(x)的一個級數表示法：

其中γ ≈ 0.57721 56649 01532 ...是歐拉-馬歇羅尼常數。一個收斂得更快的級數，是：

當x→ ∞，函數有以下的漸進表現： ^[2] 

其中

是大O符號。完整的漸近展開式為：

或

注意，作為漸近展開式，這個級數是發散的：只有級數前面有限個項才是較好的估計。這個展開式可從指數積分的漸近展開式直接推出。

對數積分在數論中十分重要，出現在小於某個整數的素數個數的估計中。例如，素數定理表明：

其中π(x)是小於或等於x的素數的個數。

由定義得對數積分函數的導數即對數函數，

同時，其不定積分可表示為

，Ei(x)為前文有所提及的指數積分函數。