指數積分

n階指數積分(Exponential Integral)為

對正整數n≥1，

與

之間的遞推關係為

當自變量為正實數且

時，函數

滿足如下不等式 ^[1] 

一階指數積分（虛數自變量）是自變量取純虛數時的積分(即式(1)中

） ^[1] 

該式也可以表示為如下等效形式

式中：

為歐拉一馬歇羅尼常數(Euler-Mascheroni constant)：

三階指數積分（實數自變量）是自變量為正實數的指數積分(即式(1)中n=3）為

這一函數可用來計算無限片狀分佈聲源的輻射噪聲場。對所有

都有效的一個近似式(基於式(3))為

對於在區間

上取值的x，此近似式的最大相對誤差為2%。 ^[1] 

正弦積分函數(Sine Integral Function)與餘弦積分函數(Cosine Integral Function)分別為

和

這兩個函數與指數積分的關係如下

由此可得

這兩個函數的漸近值為 ^[1] 

和

指數積分與對數積分

的關係：

；另外一個有密切關係的函數：

；可以延伸到負數：

；我們可以把兩個函數都用整函數來表示：

此函數的性質：

；

；

指數積分還可以推廣為：

。

函數

與

的導數有以下簡單的關係：

；然而，這裏假設了n是整數；複數n的推廣還沒有在文獻中報導，雖然這種推廣是有可能的。

從定義中可以看出，指數積分與三角積分之間的關係：

。